第4章 第4讲 第1课时 利用导数研究不等式的证明问题-【金版教程】2024高考数学一轮复习创新方案课件PPT（新教材，提升版）

第4讲　导数与函数的综合应用 第四章　导数及其应用 第1课时　利用导数研究不等式的证明问题 核心考向突破 课时作业 课程标准：1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．2．借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．3．能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系． 核心考向突破 课时作业 1 核心考向突破 PART ONE 核心考向突破 课时作业 例1　(2022·福州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0． 考向一　单变量不等式的证明 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 　　　　单变量不等式的证明方法 (1)移项法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)． (2)最值法：欲证f(x)＜g(x)，有时可以证明f(x)max＜g(x)min． 核心考向突破 课时作业 解 解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，f(0)＝e0－0－1＝0，即切点(0,0)． f′(x)＝ex－1，k＝f′(0)＝e0－1＝0，则切线方程为y＝0． 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 考向二　双变量不等式的证明 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 只需证明ln m＋ln n＞4，即证ln m＞4－ln n， 当ln n≥3时，此式显然成立； 当2＜ln n＜3时，1＜4－ln n＜2， 又f(x)在(1,2)上单调递增， ∴只需证f(ln m)＝f(ln n)＞f(4－ln n)， 令h(x)＝f(x)－f(4－x)(2＜x＜3)， 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 　　　　双变量不等式的证明方法 (1)转化法．由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式，再进行证明． (2)构造函数法．构造新函数，利用导数研究新函数的单调性及最值，从而得到所证不等式． 核心考向突破 课时作业 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 考向三　证明与正整数有关的不等式问题 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 　　　　证明函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的多项式替代函数不等式中的自变量，通过多次求和达到证明的目的． 核心考向突破 课时作业 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 解 核心考向突破 课时作业 2 课时作业 PART WO 核心考向突破 课时作业 1．(2022·沧州七校联考)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R． (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a＞ln 2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1． 解 解　(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R， 得f′(x)＝ex－2，x∈R， 令f′(x)＝0，得x＝ln 2． 核心考向突破 课时作业 解 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)． f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)，无极大值． x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 2(1－ln 2＋a) 单调递增 核心考向突破 课时作业 解 (2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R． 于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R． 由(1)知当a＞ln 2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)＞0． 于是对任意x∈R，都有g′(x)＞0，所以g(x)在R上单调递增． 于是当a＞ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)． 又g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0． 即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x