2.3.1 圆的标准方程 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

我们在前面学过,在平面直角坐标系中,两点确定一条直线,一点和倾斜角也能确定一条直线.在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢？ A M r x O y 复习引入 高 中 数 学 GAOZHONGSHUXUE 1、什么是圆？ 如图,在一个平面内,线段CP绕它固定的一个端点C旋转一周, 另一个端点P所形成的图形叫做圆. 2、圆有什么特征呢？ 思考： 在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢？ 圆心−−确定圆的位置 半径−−确定圆的大小 (1)圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径r); (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 复习引入 高 中 数 学 GAOZHONGSHUXUE 人教B版同步教材名师课件 圆的标准方程 高 中 数 学 GAOZHONGSHUXUE 学习目标 学 习 目 标 核心素养 理解圆的定义,经历并体会推导圆的标准方程的过程 数学抽象 掌握待定系数法、几何性质法求圆的标准方程 数学运算 结合圆的标准方程,体会判断点与圆的位置关系的两种方法 数学抽象 数学运算 高 中 数 学 GAOZHONGSHUXUE 学习目标 学习目标： 1.会用定义推导圆的标准方程;掌握圆的标准方程的特点. 2.会根据已知条件求圆的标准方程. 3.能准确判断点与圆的位置关系 学科核心素养： 通过对圆的标准方程的学习,提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养. 高 中 数 学 GAOZHONGSHUXUE 当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了. 因此一个圆最基本要素是圆心和半径. x O y A (a,b) M r (x, y) 如图,在直角坐标系中,圆心(点)A的位置用坐标 (a,b) 表示,半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b) 的距离. 探究新知 高 中 数 学 GAOZHONGSHUXUE 符合上述条件的圆的集合是什么？ 你能用描述法来表示这个集合吗？ 符合上述条件的圆的集合： x O y A (a,b) M r (x, y) 探究新知 高 中 数 学 GAOZHONGSHUXUE 圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用什么公式表示？ 根据两点间距离公式： 则点M、A间的距离为： 即： 圆的标准方程： 探究新知 高 中 数 学 GAOZHONGSHUXUE 是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？ 点M(x, y)在圆上,由前面讨论可知,点M的坐标适合方程;反之,若点M(x, y)的坐标适合方程,这就说明点 M与圆心的距离是 r ,即点M在圆心为A (a, b),半径为r的圆上. 把这个方程称为圆心为A(a, b),半径长为r 的圆的方程,把它叫做圆的标准方程. 探究新知 即 高 中 数 学 GAOZHONGSHUXUE 问题:圆的标准方程有什么特征? (1)有两个变量,形式都是与某个实数差的平方; (2)两个变量的系数都是1; (3)方程的右边是某个实数的平方,也就是一定为正数. 探究新知 高 中 数 学 GAOZHONGSHUXUE 特殊位置的圆方程 因为圆心是原点O(0, 0),将a＝0, b＝0和半径 r 带入圆的标准方程： 圆心在坐标原点,半径长为r 的圆的方程是什么？ 得： 整理得： 探究新知 高 中 数 学 GAOZHONGSHUXUE 怎样判断点 在圆内呢？还是在圆外呢？ x y o M1 M2 M3 点在圆外——点到圆心的距离大于半径 r ; 点在圆内——点到圆心的距离小于半径 r . 探究新知 高 中 数 学 GAOZHONGSHUXUE 点与圆的位置关系： 探究新知 点在圆上 点在圆外 点在圆内 高 中 数 学 GAOZHONGSHUXUE (1)设圆心为则, 所以或, 所以圆心为或.又, 所以圆的标准方程为或. 典例讲解 解析 例1、求下列圆的标准方程. (1)圆心在y轴上,半径为,且过点(3,−4); (2)求过点A(1,−1),B(−1,1)且圆心在直线上的圆的标准方程. 高 中 数 学 GAOZHONGSHUXUE 典例讲解 解析 例1、求下列圆的标准方程. (1)圆心在y轴上,半径为,且过点(3,−4); (2)求过点A(1,−1),B(−1,1)且圆心在直线上的圆的标准方程. (2)法一：设点C为圆心,因为点C在直线上, 所以可设点C的坐标为. 又因为该圆经过两点,所以 所以 解得.所以圆心坐标为,半径长. 故所求圆的标准方程为 高 中 数 学 GAOZHONGSHUXUE 典例讲解 解析 例1、求下列圆的标准方程. (1)圆心在y轴上,半径为,且过点(3,−4); (2)求过点A(1,−1),B(−1,1)且圆心在直线上的圆的标准