4.5 垂线-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年七年级数学下册同步精讲精练(湘教版)

4.5 垂线 知识点一 垂线的概念 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，垂直用符号“⊥”表示。 知识点二 垂线的性质 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线间的一条，那么这条直线垂直于另一条。 知识点三 垂线的基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 题型一 利用垂直的概念求角的度数 【例题1】如图，是的平分线，，，则_____． 【变式1-1】如图，直线相交于O，平分于点O，，则______，_________． 【变式1-2】如图，已知直线、交于点，，点为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式1-3】如图，点是直线上一点，射线，，在直线的上方，射线在直线的下方，且平分，，． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数． 【变式1-4】如图，直线，相交于点O，． (1)的邻补角为____； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，求的度数． 【变式1-5】如图，直线和相交于点O，，平分． (1)若，求的度数： (2)若比小，求的度数． 【变式1-6】综合与探究 如图，直线与相交于点，过点作． (1)如图1，，直接写出的度数； (2)如图2，在的内部作射线，且，此时，，求的度数； (3)如图3，在直线的下方作，且，再作平分，平分，求的度数． 题型二 垂线段最短 【例题2】【知识背景】：苏科版教材“垂直”中，我们通过度量、比较发现了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．如图1，在线段、、中，长度最短的是_______． 【知识说理】：事实上，我们可以根据学过的基本事实，通过下面的说理证实这个结论．把图（1）沿直线翻折，并画出图（2）．由于线段是由线段沿直线翻折得到的，因此______．同样，，．因为，，所以、、三点在一条直线上．于是，根据基本事实“________”，可以得到，，即，，也就是，． 【知识应用】：如图3，、两个村庄在河道的两侧，现要铺设一条引水管道把河水引向、两个村庄，应怎样设计铺设路线，才能使铺设的水管最短？请在图3中画出铺设的线路示意图． 【知识延伸】：如图4，、两个村庄在河道的同侧，现要铺设一条引水管道把河水引向、两个村庄，应怎样设计铺设路线，才能使铺设的水管最短？请在图4中画出铺设的线路示意图，并说说你的解题思路． 【变式2-1】如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____． 【变式2-2】如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A，B和村庄M，N．完成以下作图． (1)若在村庄N与道口A之间修一条最短的公路，在图中画出此公路，并说明这样画的理由； (2)若在公路上选择一个地点P安装实时监控系统，要求点P到村庄N与道口B的距离相等，在图中标出点P的位置； (3)当一节火车头行驶至铁路上的点Q时，距离村庄N最近．在图中确定点Q的位置（保留作图痕迹）； (4)若在道口A或B处修建一座火车站，使得到两村的距离和较短，应该修在________处． 【变式2-3】如图，已知平面上三点A，B，C，按下列要求完成作图和解答： (1)画射线AC，线段BC． (2)连结AB，并用圆规在线段AB的延长线上截取BD＝BC（保留画图痕迹）． (3)过点C作于点E；点C到AB的距离是______的长；线段这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接）． 【变式2-4】如图，A、B、C是平面内三点． (1)按要求作图： ①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁； ②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ； (2)在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B之间的距离为8，点A、C之间的距离为6，则AP+PQ的最小值为__________，依据是__________ 【变式2-5】如图，直线AB与直线CD相交于点Q，P为两直线外一点，按要求完成下列问题． (1)过点P画出直线PE∥AB，交CD于点E； (2)过点P画出PF⊥CD，垂足为F； (3)连接PQ，三条线段PQ、PF、PE中，最短的线段是哪一条？依据是什么？ 题型三 点到直线的距离的计算 【例题3】点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是  (    ) A．2