4.4 平行线的判定-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年七年级数学下册同步精讲精练(湘教版)

4.4 平行线的判定 知识点一 平行线的判定 同位角相等，两直线平行。 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。 题型一 用合适的方法判定两直线平行 【例题1】如图，已知（其中），添加一个以下条件：①；②；③；④．能证明的是（　  ）． A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-1】如图，在下列选项条件中，能判断的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，下列条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，下列条件不能判断直线的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】如图，下列条件：①；②；③；④，能判断的是__________． 【变式1-5】如图，给出条件：①；②；③；④，其中能判定的是____．（注：填上所有符合条件的序号） 【变式1-6】如图，已知，．求证：． 题型二 平行线的判定与性质的综合运用 【例题2】如图，，点E是上任意一点（不与A，B重合）．下列结论：①，②，③，④，⑤．正确的有_____． 【变式2-1】如图，点O在直线上，点E、F、G在直线上，连接，其中，，． (1)证明：； (2)当时，请求出的度数． 【变式2-2】如图，平分交于点，点在的延长线上，点在线段上，与相交于点G，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若点H在的延长线上，且，且，求． 【变式2-3】如图，在四边形中，，，，分别是，的平分线． (1)与有什么关系，为什么？ (2)，有什么位置关系？请说明理由； 【变式2-4】如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，请直接写出图中所有与相等的角． 【变式2-5】如图，E点为上的点，B为上的点，，．求证： (1)． (2) 【变式2-6】如图，点C，D在直线上，，． (1)求证：． (2)的角平分线交于点G，过点F作交的延长线于点M．若，再求的度数． 【变式2-7】已知：如图，，，，，. (1)求证：； (2)求的度数． 【变式2-8】如图，已知，线段上从左到右依次有两点E、F（不与A、D重合） (1)求证：； (2)若，平分，且，判断与的位置关系，并说明理由． 题型三 添加辅助线判定两直线平行 【例题3】已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且，其中，，，点E、F均落在直线MN上． （1）如图1，当点C与点E重合时，求证：；聪明的小丽过点C作，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程． （2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证：； （3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若，则________．（用含的代数式表示） 【变式3-1】如图,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,则AB与CD平行吗?请说明理由. 【变式3-2】如图，∠EAC＝90°，∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∠2＝∠4. (1)如图①，求证：DE∥BC； (2)若将图①改变为图②，其他条件不变，(1)中的结论是否仍成立？请说明理由． 【变式3-3】如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间的一点．． (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点F，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，已知，试探究的值，若不变求其值，若变化说明理由． 题型四 有关平行线判定的开放问题 【例题4】【阅读理解】在平行线的学习中，“两条平行线被第三条直线所截”是一个重要的“基本图形”．在这个“基本图形”中，所有与平行线有关的角都存在其中，并都分布在“第三条直线”的两侧．例如：如图，已知，点在直线、之间，当发现题目的图形“不完整”时，可通过添加适当的辅助线，将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了“转化思想”． 解：过点作 因为， 所以 所以， 因为 所以 (1)【学以致用】由题意得，当，，则________． (2)如图1，若，，则求出的度数． (3)①如图2，若、分别平分和，请判断与的数量关系，并说明理由． ②如图3，设，，，则________． ③如图4，设，，，请直接用含、的代数式表示的度数． 【变式4-1】直线． (1)如图1，当点为、内部一点时，连接、，请直接写出的度数； (2)如图2，当点在直线上时，点在上，将线段沿方向平移得到线段，点在上，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，点为线段上一点，在的延长线上取点，连接、，若平分，平分，，时，求的度数． 【变式4-2】如图，已知，平分，平分，且． (1)求证：； (2)如图，射线、分别在、内部，且，当，试探求的值；并说明理由； (3)如图，是直线上一动点（不与点重合），平分直接写出写出与的数量关系：______．