专题12 球的外接、内切及立体几何最值问题（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题12 球的外接、内切及立体几何最值问题 （一）几个与球有关的切、接常用结论 （1）正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体．它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a，球的半径为R)． ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. ④如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接A1B，BC1，A1C1，DC1，DA1，DB，可以得到一个棱长为a的正四面体A1­BDC1，其体积为正方体体积的. （2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. （3）棱长为a的正四面体中： ①斜高为a；②高为a；③对棱中点连线长为a；④外接球的半径为a； ⑤内切球的半径为a；⑥ S表面积＝a2；⑦ V＝a3；⑧相邻两个面的二面角：cos α＝； ⑨三条侧棱与底面的夹角：cos β＝；⑩正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. （二）球“切”的处理 1．解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作． 2．几何体内切球问题的处理 (1)解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离相等． (2)利用体积法求多面体内切球半径，. (3)在求四面体内切球的半径时,应重视分割的思想方法,即将该四面体分割为以球心为顶点,各面为底面的四个三棱锥,通过其体积关系求得半径. （三）球外接的处理 1．把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径． 2．（1）确定球心和半径解题思维流程： (R—球半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆心的距离)．注：若截面为非特殊三角形可用正弦定理求其外接圆半径 r. (2)三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球． 注意：不共面的四点确定一个球面． (3)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何体的体对角线. (4)若球面上四点P,A,B,C的连线中PA,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,则可构造长方体或正方体解决问题. 3.球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题;球与多面体的组合,一般通过多面体的一条侧棱和球心,并结合“切点”或“接点”作出截面图,把空间问题化归为平面问题求解. （四）球心的确定 1．由球的定义确定球心 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心． ①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点； ②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点； ③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点； ④正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到． 2．构造长方体或正方体确定球心 ①正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体； ②同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体； ③若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体； ④若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体． 3．由球的性质确定球心 ①球的截面均为圆面； ②球心和截面圆心的连线垂直于该截面，则有. （五）几何体侧面、表面最值问题的解法 (1)观察图形特征，确定取得最值的条件，计算最值． (2)设出未知量建立函数关系，利用基本不等式计算最值． (3)几何体表面两点间距离(路程)最小问题，“展平”处理． （六）截面最值问题的解法 （1）建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型；③求最值． （2）猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等．　 题型一 球与旋转体“切”的问题 【典例1】（江西省2023届高三教学质量监测数学（理）试题）在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块.如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积与球的体积之比是（    ） A．1 B． C． D． 【典例2】（2023·河北石家庄·统考一模）已知圆