专题01 等腰三角形与直角三角形-【备考先锋必刷题】2022-2023学年八年级数学下册期中期末复习（北师大版）

体系搭建 1、 知识梳理 1、等腰三角形的性质定理 （1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS） （2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。 （3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。 （4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 2、等腰三角形的判定定理 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。 （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。 （3）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。 5、直角三角形的性质和判定方法 定理：直角三角形的两个锐角互余。 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。 6、勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 7、勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 8、逆命题、逆定理 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。 9、斜边、直角边定理 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。 例题分析 考点1 全等三角形与等腰三角形的性质 【例1】．如图所示，△ABC中，BA＝BC，点D为BC上一点，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥BC交AC于点F． （1）若∠AFD＝160°，则∠A＝　　°； （2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B． 变式训练 【变1-1】．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE．若∠C+∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为（　　） A．17.5° B．12.5° C．12° D．10° 【变1-2】．已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝50°，则△ABC的顶角度数是 　 　． 【变1-3】．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点，若∠CAE＝16°，则∠B＝　　． 【变1-4】．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ 考点2 等腰三角形的特殊性质与等边三角形的性质 【例2】．如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连接CD，BE． （1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数； （2）直接写出∠BEC与∠BDC之间的数量关系（不必说明理由）． 变式训练 【变2-1】．如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（　　） A．80° B．100° C．120° D．140° 【变2-2】．如图所示，在等边△ABC中，BD平分∠PBC，且DB＝DA，PB＝BC，则∠BPD的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．无法计算 【变2-3】．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，且AD＝，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是　　． 【变2-4】．如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为　　． 【变2-5】．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为　 　． 考点3 等腰三角形的判定与反证法 【例3】．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD． 变式训练 【变3-1】．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变3-2】．命题“△ABC中至多有一个直角或钝角”的反设是　 　． 【变3-3】．在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝　 　时，△ABC是等腰三角形． 【变3-4】．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为