第08讲 拓展一：基本不等式-【学霸之路】2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考）

第08讲：拓展一：基本不等式 目录 基本不等式必背知识 1 基本不等式高频考点类型 3 类型一：直接法 3 类型二：凑配法 6 类型三：分离法 8 类型四：换元法 11 类型五：常数代换“1”的代换 13 类型六：消元法 16 类型七：对钩函数 18 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 基本不等式必背知识 1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果，，，当且仅当时，等号成立． ②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 2、两个重要的不等式 ①（）当且仅当时，等号成立． ②（）当且仅当时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 4、对钩函数： 对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如：（）的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等. 函数 （） 常考对钩函数 （） 定义域 定义域 值域 值域 奇偶性 奇函数 奇偶性 奇函数 单调性 在，上单调递增；在，单调递减 单调性 在，上单调递增；在，单调递减 5、常用技巧 利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：； 凑系数，例：； ②拆：例：； ③除：例：； ④1的代入：例：已知，求的最小值. 解析：. ⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值. 解析：，即，解得. 基本不等式高频考点类型 类型一：直接法 典型例题 例题1．（2023·高一课时练习）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023·高一课时练习）下列命题中，正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是2 D．的最小值是2 例题3．（多选）（2022秋·广东江门·高一新会陈经纶中学校考阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．若，则的最小值是 C．当时， D．的最小值是 练透核心考点 1．（2023·全国·高三专题练习）当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三对口高考）下列结论正确的是（     ） A．有最小值2 B．有最小值2 C．时，有最大值-2 D．时，有最小值2 3．（2022秋·安徽·高三蚌埠二中校联考阶段练习）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 类型二：凑配法 典型例题 例题1．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 例题2．（2023秋·浙江·高三校联考期末）已知，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 例题3．（2023秋·山西吕梁·高一统考期末）设，，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 例题4．（2023秋·安徽六安·高一金寨县青山中学校考期末）已知，则的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 练透核心考点 1．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023秋·河南焦作·高二温县第一高级中学校考期末）已知函数，则此函数的最小值等于（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知，则的最小值是________； 4．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）已知函数，且. (1)求a的值； (2)当x>1时，求函数f(x)的最小值． 类型三：分离法 典型例题 例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处取最小值，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 例题2．（2022秋·云南楚雄·高一云南省楚雄第一中学校考阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 例题3．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）函数的值域是__________． 练透核心考点 1．（2023·全国·高三专题练习）若，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 2．（2023·全国·高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是___________. 3．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）已知，的最小值为____________. 4．（2022秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中） 求函数的最小值． 类型四：换元法 典型例题 例题1．（2023·全国