选修4-4 第1讲 坐标系-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

第1讲　坐标系 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标与直角坐标 (1)极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系． (2)点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点M，若设|OM|＝ρ(ρ≥0)，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角为θ，则点M可用有序数对(ρ，θ)表示． (3)极坐标与直角坐标的互化公式：在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，射线Ox的正方向为极轴方向，取相同的长度单位，建立极坐标系．设点P的直角坐标为(x，y)，它的极坐标为(ρ，θ)，则相互转化公式为 3．常用简单曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcosθ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsinθ(0≤θ≤π) 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α和θ＝π＋α；或θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α (ρ∈R) 过点(a,0)(a>0)，与极轴垂直的直线 ρcosθ＝a 过点(a>0)，与极轴平行的直线 ρsinθ＝a(0<θ<π) 1．由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形的对称性：若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝所在的直线对称；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点O对称． 2．由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系． 1．求椭圆＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程． 解　由得到① 将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1. 因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1. 2．(2023·河南信阳月考)在极坐标系中，已知两点A，B，直线l的方程为ρsin＝3. (1)求A，B两点间的距离； (2)求点B到直线l的距离． 解　(1)设极点为O. 在△OAB中，A，B，由余弦定理，得 AB＝ ＝. (2)因为直线l的方程为ρsin＝3， 所以直线l过点，倾斜角为. 又B， 所以点B到直线l的距离为(3－)×sin＝2. 考向一　平面直角坐标系下的坐标变换 例1　求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标． 解　由伸缩变换得到 代入x2－＝1得－＝1，化简得－＝1. 即曲线C′的方程为－＝1， 则曲线C′是焦点在x轴上的双曲线，其焦点坐标为(－5,0)和(5,0)． 　　平面直角坐标系下图形的变换技巧 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆． 　1.在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1. 解　设伸缩变换为 由题意，知＋＝1， 即2x2＋2y2＝1. 与x2＋y2＝1比较系数，得 故所以伸缩变换为 即先使圆x2＋y2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆＋y2＝1，再将该椭圆上的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆＋＝1. 考向二　极坐标与直角坐标的互化 例2　(2023·山西运城模拟)在极坐标系中，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝. (1)求圆O和直线l的直角坐标方程； (2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标． 解　(1)由ρ＝cosθ＋sinθ，得ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ， 把代入ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，得 圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0. 由l：ρsin＝，得ρsinθ－ρcosθ＝1， 因为 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0. (2)由解得 因为θ∈(0，π)，所以直线l与圆O的公共点的极坐标为. 　　直角坐标方程与极坐标方程互化的方法 直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验． 　2.(2022·长春二模)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的