核心考点04向量的数量积-【满分全攻略】2022-2023学年高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020必修二）

核心考点04向量的数量积 目录 一．平面向量数量积的性质及其运算（共16小题） 二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共5小题） 三．向量的投影（共5小题） 四．数量积表示两个向量的夹角（共13小题） 五．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共9小题） ( 考点 考向 ) 一．平面向量数量积的性质及其运算 【知识点的知识】 1、平面向量数量积的重要性质： 设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则： （1）＝＝||cosθ； （2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件） （3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||； 特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模） （4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状） （5）||≤|||| 2、平面向量数量积的运算律 （1）交换律：； （2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）； （3）分配律：（）•≠•（） 【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样． 二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【知识点的知识】 1、向量的夹角概念： 对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π． 2、向量的数量积概念及其运算： （1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做 即：＝||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0． 注意： ① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定； ②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替； ③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π． （2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0 （3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2， 3、向量的夹角公式： 4、向量的模长： 5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积． 三．向量的投影 【知识点的知识】 1、两个向量的数量积及其性质： （1）•＝||||cos＜，＞； （2）⊥⇔•＝0（，为非零向量）； （3）||2＝2，||＝． 2、向量的投影：||cosθ＝∈R，称为向量在方向上的投影． 四．数量积表示两个向量的夹角 【知识点的知识】 我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了． 五．数量积判断两个平面向量的垂直关系 【概念】 向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么与垂直，有•＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0． ( 考点 精讲 ) 一．平面向量数量积的性质及其运算（共16小题） 1．（2022春•闵行区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若非零向量与满足，则 C．若∥，∥，则∥ D．若，则与夹角为必为锐角 2．（2022春•长宁区校级期末）设向量、满足，则＝　 　． 3．（2022春•闵行区校级期末）已知△ABC中，，，求的值 　 　． 4．（2022春•浦东新区校级期中）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（　　） A．（）2＝||2 B．（）（）＝22 C．||≤||•|| D．||≤|||﹣||| 5．（2022春•长宁区校级期末）下列命题中，真命题的个数是（　　） （1）若数列{an}是等比数列，则数列{an+an+1}也是等比数列． （2）若，则或． （3）． A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2022春•宝山区校级月考）已知G为△ABC的重心（三条中线的交点），∠BAC＝，•＝﹣2，则||的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．（2022春•嘉定区校级期末）设为任意非零向量，且相互不共线，则下列命题中是真命题的有（　　） （1）； （2）； （3）不与垂直； （4）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．（2022春•徐汇区期末）已知、为非零向量，则“”是“为锐角”的（　　）条件． A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 9．（2022秋•静安区校级期中）若向量、、满足，且，则•、•、•中最大的是（　　）