专题06 巧妙求和（培优提升讲义）—2022-2023学年四年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义 专题06 巧妙求和 知识精讲 在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式： 第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式： 项数=（末项－首项）÷公差＋1 典例分析 【典例分析01】有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？ 分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。 项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。 【典例分析02】有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。 第100项=3+4×（100－1）=399 【典例分析03】有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和： 等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 这个公式也叫做等差数列求和公式。 【典例分析04】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 分析与解答：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。 要求这一数列的和，首先要求出项数是多少： 项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25 首项=2，末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）×25÷2=650 【典例分析05】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99） 分析与解答：容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。 进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ~ 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。 （2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99） =（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99） =1+1+1+…+1 =50 真题百分练 一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）1+2+3+4+5+6+7+97+98+99+100的结果是（　　） A．100 B．500 C．1000 D．5050 2．（2分）李奶奶家有一个老式挂钟，这个挂钟几时就敲几下，半时敲一下，李奶奶家的挂钟一天一共敲（　　）下． A．24 B．180 C．360 3．（2分）德国数学家高斯在计算“1+2+3+……+98+99+100”时，他这样算。“1+100、2+99、3+98，……，共有50个101，用50×101＝5050”。以下式子可以用高斯的方法计算的有（　　）个。 ①1+11+111+1111 ②2+4+6+8+…+44+46+48 ③15+20+25+…80+85+90 ④26+29+32+…+47+50+53 A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2分）101+102+103+…+120+121的计算结果是（　　）。 A．2311 B．2321 C．2331 5．（2分）用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且每盒不空，那么至少要用（　　）个杯子． A．100 B．500 C．1000 D．5050 二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分） 6．（2分）1+3+5+7+……+97＝　 　。 7．（2分）在数学学习过程中，我们要不断培养自己敏锐的观察能力，请你仔细观察下列算式后填空。 11+12+13+14+15+185+186+187+188+189＝　 　×　 　。 8．（2分）高斯1