核心考点03平面向量的概念和线性运算-【满分全攻略】2022-2023学年高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020必修二）

核心考点03平面向量的概念和线性运算 目录 一．向量的概念与向量的模（共10小题） 二．向量相等与共线（共9小题） 三．向量的加法（共1小题） 四．向量的减法（共1小题） 五．向量的三角形法则（共1小题） 六．向量加减混合运算（共1小题） 七．向量数乘和线性运算（共3小题） 八．平面向量数量积的含义与物理意义（共4小题） ( 考点 考向 ) 一．向量的概念与向量的模 【向量概念】 既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量． 【向量的几何表示】 用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量． 【向量的模】 的大小，也就是的长度（或称模），记作||． 【零向量】 长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定． 【单位向量】 长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）． 【相等向量】 长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性． 二．向量的加法 【知识点的知识】 向量的加法运算 求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二： （1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量 叫做与的和，记作，即+＝+＝ 特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点． （2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于＝，根据三角形法则得+＝+＝，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和． 特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾） （3）向量的加法性质 ①+＝+＝；+（﹣）＝； ②+＝+； ③（+）+＝+（+）． 三．向量的减法 【知识点的知识】 向量的减法及其几何意义： 求两个向量差的运算叫向量的减法运算． 法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即﹣＝+（﹣）． 设＝，＝，则．即＝＝．即 特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终） 四．向量的三角形法则 【知识点的知识】 三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量 叫做与的和，记作，即+＝+＝ 特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点． 五．向量加减混合运算 【知识点的知识】 1、向量的加法运算 求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二： （1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量 叫做与的和，记作，即+＝+＝ 特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点． （2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于＝，根据三角形法则得+＝+＝，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和． 特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾） （3）向量的加法性质 ①+＝+＝；+（﹣）＝； ②+＝+； ③（+）+＝+（+）． 2、向量的减法运算． 求两个向量差的运算叫向量的减法运算． 法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即﹣＝+（﹣）． 设＝，＝，则．即＝＝．即 特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终） 六．向量数乘和线性运算 【知识点的知识】 （1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反． 当λ＝0时，λ与平行． 对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥⇔＝λ （2）向量数乘运算的法则 ①1＝；（﹣1）＝； ②（λμ）＝λ（μ）＝μ（λ）； ③（λ+μ）＝λ+μ； ④λ（+）＝λ+λ． 一般地，λ+μ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果＝λ+μ，则称可以用，线性表示． 七．平面向量数量积的含义与物理意义 【知识点的知识】 1、向量的夹角概念： 对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π． 2、向量的数量积