专题2.1 函数及其表示-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

2.1 函数及其表示 思维导图 知识点总结 (1)集合A,B及其对应关系f:A→B构成的函数中,函数的值域C不是集合B,而是C⊆B. (2)两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,函数f(x)=2x2,x∈[0,2]与函数f(x)=2x2,x∈[-2,0]. 2.函数的表示法 表示函数的常用方法有 、 和 . 3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数. 分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 与x轴垂直的直线与一个函数的图象至多有一个公共点. 典型例题分析 考向一 函数的定义域 典例一 1.函数f(x)=+ln(2x-x2)的定义域为(　B　) A.(2,+∞) B.(1,2) C.(0,2) D.[1,2] 2.已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是(　B　) A.(-12,0) B.(-12,0] C.(,+∞) D.(-∞,] 3.已知函数f(x)=(1-x+(2x-1)0,则f(x)的定义域为　　　　　　. 解题分析与总结 (1)若函数的解析式是由多个基本初等函数通过四则运算构成,则函数的定义域是使构成解析式的各部分都有意义的集合的交集. (2)求抽象函数的定义域 ①若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a<g(x)<b即可求出y=f(g(x))的定义域; ②若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定义域. 注意:1.求函数定义域时,对函数解析式先不要化简. 2.求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式.若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接. 考向二 求函数的解析式 典例二 1.已知f(x)满足2f(x)+f()=3x,则f(x)=　　　　.  2.已知在定义域内单调递增的一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+6,则f(x)的解析式为　　　　. 解题分析与总结 1.已知f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式,常用换元法或配凑法或两种方法并用,换元法更具有一般性,在使用时一定要注意新元的取值范围. 2.换元法的一般方法是:令t=g(x),从中求出x=(t),然后代入表达式求出f(t),再将t换成x,得到f(x)的解析式,要注意新元的取值 范围. 考向三 分段函数及其应用 微考点1　分段函数求值 已知f(x)=则f[f()]+f(-)的值等于　　　. 解题分析与总结 求分段函数的函数值的策略 (1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值. (2)当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. 微考点2　分段函数与方程 已知函数f(x)=若f(a)=2,则实数a=(　　) A.-1或2 B.2或4 C.-2或4 D.-1或4 解题分析与总结 根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时,应根据分段函数各段的定义域分类讨论,结合各段的函数解析式求解,要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域. 微考点3 分段函数与不等式 函数f(x)=则满足f(x)+f(x-)>1的x的取值范围是　　　　.  解题分析与总结 求解与分段函数有关的不等式问题,应在定义域的限制之下,结合函数解析式分别解不等式,最后取各不等式的并集. 微考点4　分段函数的值域 设函数f(x)=若F(x)=f(x)+x,x∈R,则F(x)的值域为(　　) A.(-∞,1] B.[2,+∞) C.(-∞,1]∪[2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞) 解题分析与总结 分段函数的值域是各段函数值域的并集. 基础题型训练 一、单选题 1．下列各组函数中，是相等函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．， D．， 3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（　　） A． B． C． D． 4．函数的值域为（    ）． A． B． C． D． 5．若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．下列各函数中，表示相等函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与(且) 二、多选题 7．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，就是“同族函数”.下列可用来构造同族函数的有（    ） A． B． C． D． 8．下列函数中，表示同一个函