(普查练习)第42课 导数的概念及其运算-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第42课 导数的概念及其运算

普查与练习42　导数的概念及其运算

1．导数的运算

(1)(2024汇编，16分)求下列函数的导数：

①y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；

②y＝exsinx；

③y＝＋；

④y＝－sin；

⑤y＝ln；

⑥y＝；

⑦y＝；

⑧y＝

解：①y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，

∴y′＝3x2＋12x＋11.(2分)

②y′＝(exsinx)′＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)．(4分)

③y＝＋＝＝＝－2，∴y′＝.(6分)

④y＝－sin·＝sinx，

∴y′＝cosx.(8分)

⑤y＝lnx－ln(1＋2x)，

∴y′＝－(1＋2x)′＝－＝＝.(10分)

⑥y＝＝(1－2x).

令y＝u，u＝1－2x，　

∴u′x＝－2.∴y′＝y′u·u′x＝－u·(－2)＝－(1－2x)·(－2)＝(1－2x).(12分)

⑦y′＝＝

＝.(14分)

⑧当x≤1时，y′＝2x2；当x>1时，y′＝2x.

因为×13＝，12＝1，≠1，所以该分段函数在x＝1处不可导，所以y′＝(16分)

(2)(全国Ⅲ经典真题，5分)设函数f(x)＝，若f′(1)＝，则a＝________．

解析：∵函数f(x)＝，∴f′(x)＝，

∴f′(1)＝.

又∵f′(1)＝，∴＝，解得a＝1.

故答案为1.

(3)(四川眉山期末，5分)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且f(x)＝f′(1)x3－3x2＋3，则f′(2)＝(　　)

A．1  B．2  C．12  D．24

解析：∵f(x)＝f′(1)x3－3x2＋3，∴f′(x)＝3f′(1)x2－6x.令x＝1，得f′(1)＝3f′(1)－6，解得f′(1)＝3，∴f′(x)＝9x2－6x，∴f′(2)＝36－12＝24，故选D.

2．导数的几何意义及其应用

a．求切线方程

(4)(全国Ⅱ经典真题，5分)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为(　　)

A．x－y－π－1＝0　　　　　　

B．2x－y－2π－1＝0

C．2x＋y－2π＋1＝0 

D．x＋y－π＋1＝0

解析：由y＝2sinx＋cosx，得y′＝2cosx－sinx，∴y′|x＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，∴曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C.

(5)(2022新高考Ⅱ真题，5分) 曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．

解析：根据题意，当x>0时，y＝lnx，设切点为(x0，lnx0)，x0>0.

因为y′＝，所以y′|＝，

所以切线方程为y－lnx0＝(x－x0)．

又因为切线过坐标原点，所以－lnx0＝(－x0)，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即y＝x.

当x<0时，y＝ln(－x)，设切点为(x1，ln(－x1))，x1<0.

因为y′＝，所以y′|＝，

所以切线方程为y－ln(－x1)＝(x－x1)．

又因为切线过坐标原点，所以－ln(－x1)＝(－x1)，解得x1＝－e，所以切线方程为y－1＝－(x＋e)，即y＝－x.故答案为y＝x，y＝－x.

(广东佛山模拟，5分)已知函数f(x)＝lnx＋x2＋x，则曲线f(x)所有的切线中斜率最小的切线方程为________．

解析：曲线f(x)的切线斜率最小，即函数f(x)的导数最小．

函数f(x)＝lnx＋x2＋x(x＞0)的导数为f′(x)＝＋x＋1(x＞0)．

∵x＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，

∴f′(x)的最小值为f′(1)＝3.

又∵当x＝1时，f(1)＝，

∴曲线f(x)所有切线中斜率最小的切线方程为y－＝3(x－1)，即6x－2y－3＝0.

b．求切点坐标

(6)(河南南阳宛城区三模，5分)曲线y＝x3＋m(x<0)在点A处的切线方程为y＝3x＋2m－2，则切点A的坐标为________．

解析：设点A(a，b)，a<0.

由y＝x3＋m可得y′＝3x2，故曲线y＝x3＋m(x<0)在点A处的切线的斜率为3a2，所以3a2＝3，解得a＝－1(正值舍去)．

因为点A既在曲线上又在切线上，

所以

将a＝－1代入方程组，解得所以切点A的坐标为(－1，3)．故答案为(－1，3)．

c．求参数的值

(7)(2024汇编，10分)已知直线l与曲线y＝f(x)相切．

①若直线l：y＝－2x＋，f(x)＝x3－ax，则a＝________；

②若直线l：y＝4x＋3，f(x)＝cx2＋2bx，且切点的横坐标为1，则b－c＝________．

解析：①设直线l与曲线y＝f(x)的切点的横坐标为m，则－2m＋＝m3－am.

对f(x)求导，得f′(x)＝x2－a，∴切线的斜率为m2－a，∴m2－a＝－2.

联立解得