(普查练习)第38课 数列的概念与简单表示法-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第38课 数列的概念与简单表示法 普查与练习38　　　　数列的概念与简单表示法 1．由数列的前几项写出数列的通项公式 (1)(2024汇编，15分)根据给出的数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式． (Ⅰ)－2，1，－，，…； (Ⅱ)，，，，…； (Ⅲ)，，，，…； (Ⅳ)0，，，，…； (Ⅴ)0，1，0，1，…. 解：(Ⅰ)根据题意，数列－2，1，－，，…可以写成(－1)1×，(－1)2×，(－1)3×， (－1)4×，…，所以该数列的一个通项公式为an＝(－1)n×.(3分) (Ⅱ)根据题意，数列，，，，…可以写成，，，，…，所以该数列的一个通项公式为an＝.(6分) (Ⅲ)根据题意，数列，，，，…可以写成，，，，…，所以该数列的一个通项公式为an＝.(9分) (Ⅳ)根据题意，数列0，，，，…可以写成，，，，…，所以该数列的一个通项公式为an＝.(12分) (Ⅴ)观察所给数列，发现奇数项为0，偶数项为1，所以该数列的通项公式可以为an＝或an＝.(15分) 2．由an与Sn的关系求通项an (2)(2024汇编，40分)已知Sn为数列{an}的前n项和，n∈N*. ①若Sn＝－n2＋33n，则an＝__________．(广东模拟) ②若3Sn＝an＋t，且a4＝1，则an＝________．(重庆模拟) ③若4Sn＝a＋2an－3，且an>0，则an＝______．(福建模拟) ④若2Sn＋an＋1＝2n2，且a2022＝4048，则an＝____．(福建三明模拟) ⑤若a1＝0，Sn＋1＝－Sn＋n2，则an＝________．(河北保定模拟) ⑥若a1＝1，a1为a2与S2的等差中项，且当n≥2时，总有2Sn＋1－3Sn＋Sn－1＝0，则an＝________． ⑦若a1＝2，当n≥2时，an是3Sn－4与2－Sn－1的等差中项，则an＝________． ⑧若bn为数列{Sn}的前n项积，且＋＝2，则an＝________．(2021全国乙真题改编) 解析：①因为Sn＝－n2＋33n，所以当n≥2时，Sn－1＝－(n－1)2＋33(n－1)＝－n2＋35n－34，所以an＝Sn－Sn－1＝－2n＋34，n≥2. 当n＝1时，a1＝S1＝32符合上式，故an＝－2n＋34. ②因为3Sn＝an＋t，所以当n≥2时，3Sn－1＝an－1＋t，两式相减可得3an＝an－an－1，即an＝－an－1(n≥2)，所以数列{an}是公比为－的等比数列．又因为a4＝1，所以an＝a4×n－4＝n－4. ③因为4Sn＝a＋2an－3，所以当n≥2时，4Sn－1＝a＋2an－1－3，两式相减得4an＝a－a＋2an－2an－1，整理得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0. 因为an>0，所以an－an－1＝2，所以数列{an}是公差为2的等差数列． 在4Sn＝a＋2an－3中，令n＝1，得4S1＝4a1＝a＋2a1－3，解得a1＝3(a1＝－1舍去)，故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. ④因为2Sn＋an＋1＝2n2，所以当n≥2时，2Sn－1＋an＝2(n－1)2, 两式相减得2Sn－2Sn－1＋an＋1－an＝2n2－2(n－1)2， 整理得an＋1＋an＝4n－2，即an＋1－2n＝－[an－2(n－1)]， n≥2，所以数列{an－2(n－1)}从第2项起是公比为－1的等比数列，所以an－2(n－1)＝(a2－2)·(－1)n－2，即an＝(a2－2)·(－1)n－2＋2(n－1)，n≥2， 所以a2022＝(a2－2)×(－1)2022－2＋2×(2022－1)＝4048，解得a2＝8， 所以an＝6×(－1)n－2＋2(n－1)＝6×(－1)n＋2(n－1)，n≥2. 在2Sn＋an＋1＝2n2中，令n＝1，得2S1＋a2＝2，所以a1＝S1＝－3. 经检验，a1＝－3不符合an＝6×(－1)n＋2(n－1)， 所以an＝ ⑤因为Sn＋1＝－Sn＋n2，所以当n≥2时，Sn＝－Sn－1＋(n－1)2，两式相减得an＋an＋1＝2n－1(n≥2)，所以an＋1＋an＋2＝2(n＋1)－1＝2n＋1，两式相减得an＋2－an＝2(n≥2)． 在Sn＋1＝－Sn＋n2中，令n＝1，得S2＝－S1＋1，即a1＋a2＝－a1＋1.因为a1＝0，所以a2＝1. 令n＝2，则S3＝－S2＋4，即a1＋a2＋a3＝－a1－a2＋4，所以a3＝2，所以a3－a1＝2，所以an＋2－an＝2(n∈N*)， 所以{an}的奇数项是以a1＝0为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以a2＝1为首项，2为公差的等差数列，所以数列{an}为0，1，2，3，4，5，…，所以an＝n－1. ⑥因为2Sn＋1－3Sn＋Sn－1＝2Sn＋1－