(普查练习)第37课 解析几何中减少计算量的几种方法-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第37课 解析几何中减少计算量的几种方法 普查与练习37　　　　解析几何中减少计算量的几种方法 1．定义为王：巧用圆锥曲线的定义构建数量关系 (1)(江苏南京联考，5分)已知点F为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，过原点O的直线l交椭圆于P，Q两点，若|PF|＝3|QF|且∠PFQ＝π，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析：设椭圆C的右焦点为F′，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF′为平行四边形， 则|PF′|＝|QF|，∠FPF′＝π－∠PFQ＝π－＝，|PF|＝3|QF|＝3|PF′|. 由椭圆的定义可知，|PF|＋|PF′|＝2a， ∴|PF′|＝，|PF|＝. 在△PFF′中，cos∠FPF′＝＝＝－e2＝， 解得e＝(负值舍去)．故选A. (2)(山东济南模拟，5分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F(－3，0)，M(0，4)，点P为双曲线右支上的动点，且△MPF周长的最小值为14，则双曲线的离心率为(　　) A. B. C．2 D. 解析：∵F(－3，0)，M(0，4)，∴|MF|＝5. ∵△MPF周长的最小值为14， ∴|MF|＋|MP|＋|PF|的最小值为14，即|MP|＋|PF|的最小值为14－5＝9. 设双曲线的右焦点为F2，则F2(3，0)，连接PF2，MF2，如图所示． 由双曲线的定义可得|PF|－|PF2|＝2a，即|PF|＝|PF2|＋2a， ∴|MP|＋|PF|＝|MP|＋|PF2|＋2a≥|MF2|＋2a，当且仅当P在线段MF2上时，等号成立， ∴当点P在线段MF2上时，|MP|＋|PF|最小，最小值为|MF2|＋2a＝|MF|＋2a＝5＋2a， ∴5＋2a＝9，即2a＝4，解得a＝2. 又c＝3，∴离心率e＝＝.故选A. (3)(湖北二模，5分)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，过第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C(2p，0)，AF与BC相交于点D.若|CF|＝|AF|，且△ACD的面积为，则直线AC的斜率k＝________，抛物线的方程为________． 解析：由y2＝2px可得F，∴|CF|＝. 由抛物线的定义可知，|AB|＝|AF|. 又∵|CF|＝|AF|，∴|AB|＝|CF|＝，即xA＋＝，解得xA＝p，∴yA＝p(负值舍去)， ∴直线AC的斜率k＝＝－. 连接BF. ∵AB∥CF，|AB|＝|CF|，∴四边形ABFC为平行四边形，∴|CD|＝|BD|， ∴S△ACD＝S△ABC＝×××p＝，解得p＝2(负值舍去)，∴抛物线的方程为y2＝4x. 2．联立有法：巧用“1”的代换实现齐次化联立 (4)(河南模拟，5分)已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，若椭圆的离心率e∈，则a的最大值为________． 解析：因为OA⊥OB，a>b>0， 所以点A，B的横坐标均不为0，且b≠1. 联立得＋＝(x＋y)2， 整理得 －2＋＝0， 由题知Δ＝4－4>0， 化简得a2＋b2>1.① 设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1，x2≠0)，因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝·＝＝－1，即b2＋a2＝2a2b2，即b2＝. 又因为e∈，所以≤≤，即≤1－≤，所以≤≤，所以≤≤，解得≤a2≤.又a>0，所以≤a≤，满足①式，所以a的最大值为. (5)(山东烟台模拟，12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，C与抛物线x2＝2py的交点为(，1)． (Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ)设椭圆的上顶点为A，斜率为k的直线过抛物线的焦点F且与椭圆交于M，N两点，试探究直线AM，AN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由． 解：(Ⅰ)∵椭圆C的离心率e＝＝， ∴a2＝2c2.(1分) 又∵a2＝b2＋c2，∴b2＝c2，∴a2＝2b2， ∴椭圆C的方程为＋＝1. 将(，1)代入方程，得＋＝1，解得b2＝4， ∴a2＝8，∴椭圆C的方程为＋＝1.(4分) (Ⅱ)直线AM，AN的斜率之积是定值．(5分) 由(Ⅰ)可得A(0，2)． 将(，1)代入抛物线方程x2＝2py，可得6＝2p， 解得p＝3， ∴抛物线方程为x2＝6y，∴F.(6分) 设直线MN的方程为y＝kx＋，M(x1，y1)，N(x2，y2)． (法一)联立 消去y，整理得(2＋4k2)x2＋12kx－7＝0，易知Δ>0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.(8分) ∵kAM＝，kAN＝， ∴kAM·kAN＝· ＝ ＝ ＝k2－·＋ ＝k2－·－ ＝－， ∴直线AM，AN的斜率之积为定值－.(12分) (法二)令y′＝y－2， 则kAM＝＝，kAN＝＝.(8分) 联立 即变形为