(普查练习)第35课 抛物线-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第35课 抛物线 普查与练习35 Ⅰ　　　　抛物线的定义、标准方程及几何性质 1．抛物线定义的应用 (1)(2024汇编，20分)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，M是C上一点． ①设直线FM交y轴于点P.若M为FP的中点，则|FP|＝______． ②设点M在第一象限，以F为圆心，FM为半径的圆交抛物线的准线于A，B两点．若A，F，M三点共线，则|MF|＝________． ③点H(3，0)，若|MF|＝|HF|，则|MH|＝(　　)(2022全国乙真题) A．2 B．2 C．3 D．3 ④若点Q也在抛物线上，且·＝－4，||－||＝4，则·＝(　　) A．－11 B．－12 C．－13 D．－14 解析：由C：y2＝4x得p＝2，∴抛物线的焦点F的坐标为(1，0)． ①∵M是FP的中点，点P在y轴上，∴xM＝＝. 又M在抛物线上， ∴|FM|＝xM＋＝，|FP|＝2|FM|＝3. ②∵A，F，M三点共线，∴AM为圆的直径， ∴BM⊥AB，∴BM∥x轴． 又F为AM的中点，且点F到准线的距离为2， ∴|BM|＝4， ∴|MF|＝|BM|＝4. ③∵F(1，0)，H(3，0)，∴|MF|＝|HF|＝2，∴点M到准线x＝－1的距离为2，∴点M的横坐标为－1＋2＝1. 不妨设点M在x轴上方，则其纵坐标为yM＝＝2，∴M(1，2)，∴|MH|＝＝2.故选B. ④设M(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1，x2>0)，则x1＝，x2＝.由·＝－4，得x1x2＋y1y2＝－4，即·＋y1y2＝－4，∴y1y2＝－8，∴x1x2＝·＝4. ∵F(1，0)，||－||＝4， ∴(x1＋1)－(x2＋1)＝4，即x1－x2＝4， ∴(x1＋x2)2＝(x1－x2)2＋4x1x2＝48＋16＝64. 又x1，x2>0，∴x1＋x2＝8， ∴·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)·(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝4－8＋1－8＝－11.故选A. (2)(2024改编，5分)已知抛物线y＝x2的焦点为F，P为抛物线上一动点，点Q(1，1)，当△PQF的周长最小时，点P的坐标为________；|PQ|－|PF|的取值范围是________． 解析：由y＝x2得x2＝4y，∴p＝2，∴抛物线的焦点F的坐标为(0，1)，准线为直线y＝ －1. 过P，Q向直线y＝－1作垂线，垂足分别为H，N，则|PF|＝|PH|，∴△PQF的周长为|PF|＋|PQ|＋|FQ|＝|PQ|＋|PH|＋1. 易知当Q，P，H三点共线，即H与N重合时，|PQ|＋|PH|最小，为|QN|＝2，∴△PQF周长的最小值为3，此时点P的横坐标xP＝1，代入抛物线方程，解得其纵坐标yP＝，即P. 当|PQ|<|PF|时，|PQ|－|PF|＝－||PF|－|PQ||. ∵0<|PF|－|PQ|≤|FQ|＝1，当且仅当点Q在点P，F之间且三点共线时等号成立，∴0>|PQ|－|PF|≥－1. 当|PQ|≥|PF|时，0≤|PQ|－|PF|≤|FQ|＝1，当且仅当点F在点P，Q之间且三点共线时等号成立． 综上，|PQ|－|PF|的取值范围是[－1，1]． (3)(北京丰台区一模，5分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则F的坐标为________；设点M在抛物线C上，若以线段FM为直径的圆过点Q(0，2)，则|FM|＝________． 解析：由C：y2＝4x得p＝2，∴抛物线的焦点F的坐标为(1，0)． (法一)设M. ∵以FM为直径的圆过点Q(0，2)，∴QM⊥QF，∴＝·(1，－2)＝0，∴－2(yM－2)＝0，解得yM＝4，∴xM＝＝4，∴|FM|＝xM＋＝4＋1＝5. (法二)过M作抛物线C的准线l：x＝－1的垂线，垂足为H，记MH与y轴交于点N. 记以线段FM为直径的圆为圆T，则T为FM的中点． 过点T作y轴的垂线，垂足为P，则有|TP|＝(|OF|＋|MN|)＝＝|MF|，∴P为圆T上一点，即点P为圆T与y轴的切点． 又圆T过点Q(0，2)，∴点P，Q重合，即Q(0，2)为切点，∴点T的纵坐标为2，即＝2，解得yM＝4，将其代入y2＝4x，可得xM＝4，∴|FM|＝|HM|＝xM＋＝4＋1＝5. 2．抛物线的标准方程 a．利用定义法求抛物线的标准方程(与抛物线有关的轨迹问题) (4)(经典题，5分)点P到(1，0)的距离比其到直线x＋2＝0的距离少1，则点P的轨迹方程为________． 解析：由已知可得点P一定在x＋2＝0的右侧，否则P到点(1，0)的距离一定大于到x＋2＝0的距离．由P到(1，0)的距离比其到直线x＋2＝0的距离少1，可得P到(1，0)的距离与其到x＋1＝0的距离相等，故点P的轨迹是以(1，0