(普查练习)第34课 双曲线-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第34课 双曲线 普查与练习34　双曲线 1．双曲线的标准方程 a．利用定义法求双曲线的标准方程(与双曲线有关的轨迹问题)　　　　　　　　　　　　　 (1)(辽宁辽阳二模，5分)如图，已知A，B两地相距600 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1 s，且声速为340 m/s.以线段AB的中点为坐标原点O，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸可能位置的轨迹方程为(　　) A.－＝1(x<0) B.－＝1(x<0) C.－＝1(x>0) D.－＝1(x>0) 解析：设炮弹爆炸点P的坐标为(x，y)，则|PB|－|PA|＝340×1＝340<600，所以P的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为340的双曲线的左支． 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0，x<0), 则2a＝340，2c＝|AB|＝600，所以a＝170，c＝300， 所以b2＝c2－a2＝90000－28900＝61100， 故炮弹爆炸可能位置的轨迹方程为－＝1(x<0)．故选B. b．利用待定系数法求双曲线的标准方程 (2)(2024汇编，24分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)． ①若双曲线C过点(，)，且离心率为2，则双曲线的方程为(　　)(2021北京真题，4分) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1 ②若双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 ③若双曲线C的离心率为，且经过左焦点F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 ④若点(3，)在双曲线C上，且双曲线C与双曲线－＝1有相同的渐近线，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 ⑤若双曲线C的一条渐近线的斜率为，且与双曲线－＝1有共同的焦点，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：①∵e＝＝2，∴c＝2a，b＝＝a，则双曲线C的方程为－＝1. 将(，)代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝， ∴双曲线C的方程为x2－＝1.故选A. ②(法一)∵双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，∴＝(ⅰ)． ∵双曲线C与椭圆＋＝1有公共焦点， ∴双曲线的半焦距c＝＝3， ∴a2＋b2＝c2＝9(ⅱ)． 由(ⅰ)(ⅱ)解得a＝2，b＝， ∴双曲线C的方程为－＝1.故选B. (法二)∵双曲线C与椭圆＋＝1有公共焦点，∴双曲线C的方程可设为－＝1(3<λ<12)， ∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x. 又∵双曲线C的一条渐近线方程为y＝x， ∴＝，解得λ＝8， ∴双曲线C的方程为－＝1.故选B. (法三)∵双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，即x－2y＝0，∴可设双曲线C的方程为5x2－4y2＝λ(λ>0)，即－＝1(λ>0)． ∵双曲线C与椭圆＋＝1有公共焦点， ∴双曲线的半焦距c＝＝3，且λ>0， ∴＝3，解得λ＝20， ∴双曲线C的方程为－＝1.故选B. ③(法一)∵e＝＝＝＝＝，∴a＝b，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.由经过左焦点F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，可得＝＝1，解得c＝4.又∵a2＋b2＝c2，∴a＝b＝2，∴双曲线的方程为－＝1.故选B. (法二)∵离心率为，∴双曲线为等轴双曲线． 又∵经过左焦点F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，∴c＝4. 根据a∶b∶c＝1∶1∶，可得a＝b＝2， ∴双曲线的方程为＝1.故选B. ④根据题意可设双曲线C的方程为＝λ1(λ1<0)． ∵点(3，)在双曲线C上， ∴－＝λ1，解得λ1＝－1， ∴双曲线C的方程为＝－1，则其标准方程为＝1.故选C. ⑤根据题意可设双曲线C的方程为＝1(－9<λ2<16，且λ2≠0)． ∵双曲线C的一条渐近线的斜率为， ∴＝2＝，即3(9＋λ2)＝2(16－λ2)，解得λ2＝1，∴双曲线的方程为＝1.故选A. 2．双曲线的离心率 a．求离心率 (3)(2024汇编，19分)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点． ①设双曲线C的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为________．(全国Ⅲ经典真题) ②设F(4，0)，直线y＝x与双曲线C相交于M，N两点，线段MF，NF的中点分别为G，H，若⊥，则C的离心率为(　　) A. B. C．4 D．2 ③过F且斜率为的直线交双曲线C于点A(x1，y1)，交C的渐近线于点B(x2，y2)且x2<0<x1.若|FB|＝3|FA|，则C的离心率是________．(2022浙江真题改编，4分) ④设双曲线C