(普查练习)第33课 椭　圆-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第33课 椭　圆 普查与练习33 Ⅰ　椭圆的定义、标准方程及几何性质 1．椭圆标准方程的不同求法 a．利用定义法求椭圆的标准方程(与椭圆有关的轨迹问题)　　　　　　　　　　　　　　　 (1)(湖南常德期中，5分)已知M(－2，0)，P是圆N：x2－4x＋y2－32＝0上一动点，线段MP的垂直平分线交NP于点Q，则动点Q的轨迹方程为(　　) A.＋＝1 B.－＝1 C.＋＝1 D.－＝1 解析：圆N：x2－4x＋y2－32＝0可化为(x－2)2＋y2＝36，∴圆心为N(2，0)，半径r＝6. ∵M(－2，0)，∴|MN|＝4. 连接QM，∵Q在MP的垂直平分线上，∴|QM|＝|QP|. ∵|QN|＋|QM|＝|QN|＋|QP|＝|NP|＝r＝6>|MN|， ∴根据椭圆的定义，可知点Q的轨迹是以原点为中心，以M，N为焦点，长轴长等于6的椭圆， ∴a＝3，c＝2，b2＝a2－c2＝9－4＝5， ∴点Q的轨迹方程为＋＝1. 故选A. b．利用待定系数法求椭圆的标准方程 (2)(2024汇编，16分)求满足下列条件的椭圆的标准方程． (Ⅰ)焦点分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4, 3)；　 (Ⅱ)经过两点(2，－)，； (Ⅲ)过点(2，－)，且与椭圆＋＝1有相同的离心率； (Ⅳ)过点M(2，)，且与椭圆9x2＋5y2＝45有相同的焦点． 解：(Ⅰ)(法一)∵椭圆的焦点在y轴上， ∴可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由椭圆的定义知2a＝＋＝12，∴a＝6.又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.(4分) (法二)∵椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∵椭圆过点(4, 3)，∴＋＝1.又c2＝a2－b2＝4，解得a2＝36，b2＝32，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.(4分) (Ⅱ)(法一)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由已知条件，得解得 ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由已知条件，得解得 ∴a2＝4，b2＝8，a2<b2，与a＞b＞0矛盾，舍去． 综上可知，椭圆的标准方程为＋＝1.(8分) (法二)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)， 分别将两点的坐标(2，－)， 代入椭圆的方程，得 解得 ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.(8分) (Ⅲ)当焦点在x轴上时，与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆方程可设为＋＝n(n>0)． ∵椭圆过点(2，－)，∴＋＝n，∴n＝2，此时椭圆方程为＋＝2，即＋＝1. 当焦点在y轴上时，与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆方程可设为＋＝m(m>0)．∵椭圆过点(2，－)，∴＋＝m，∴m＝，此时椭圆方程为＋＝，即＋＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(12分) (Ⅳ)(法一)由9x2＋5y2＝45，得＋＝1，其焦点分别为F1(0，2)，F2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵点M(2，)在所求椭圆上，∴|MF1|＋|MF2|＝2a，即2a＝＋＝4，解得a＝2.又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝8，∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.(16分) (法二)∵所求椭圆与椭圆＋＝1有相同的焦点，∴可设所求椭圆的标准方程为＋＝1(λ>－5)． 又∵所求椭圆过点(2，)，∴＋＝1，解得λ＝3或λ＝－7(不合题意，舍去)， ∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.(16分) c．综合其他知识求椭圆的标准方程 (3)(2022全国甲真题，5分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1 解析：由离心率e＝＝＝，得＝，所以b2＝a2. 因为A1，A2分别为C的左、右顶点，B为上顶点， 所以A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)， 所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)， 所以·＝－a2＋b2＝－a2＋a2＝－1，解得a2＝9，所以b2＝8，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选B. (4)(全国Ⅰ经典真题，5分)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：(法一)由已知可设|BF2|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义得2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，∴|AF1|＝2a－|AF2|＝2n. 在△AF1B中，由余弦定理的推论得 cos∠F1AB＝ ＝＝. 在△AF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|