(普查练习)第32课 圆与方程-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第32课 圆与方程 普查与练习32　圆与方程 1．圆的标准方程和一般方程 a．圆的方程的认识 (1)(2022北京真题，4分)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A. B．－ C．1 D．－1 解析：圆(x－a)2＋y2＝1的圆心为(a，0)，由题可知，圆心在直线2x＋y－1＝0上，所以2a＋0－1＝0，解得a＝.故选A. (2)(湖北武汉模拟，5分)“a<8”是“方程x2＋y2＋2x＋4y＋a＝0表示圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若方程x2＋y2＋2x＋4y＋a＝0表示圆，则4＋16－4a>0，解得a<5. ∵(－∞，5)(－∞，8)， ∴“a<8”是“方程x2＋y2＋2x＋4y＋a＝0表示圆”的必要不充分条件．故选B. b．利用几何法或待定系数法求圆的方程 (3)(2024汇编，35分)根据下列条件求圆C的标准方程． (Ⅰ)已知圆C以线段AB：4x＋3y－2＝0(－1≤x≤5)为直径，则圆C的方程为____________． (Ⅱ)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在圆M上，则圆M的方程为__________________．(2022全国甲真题) (Ⅲ)已知圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程为____________． (Ⅳ)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点N(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________． (Ⅴ)已知过点P(4，1)的圆C与直线x－y＝1相切于点Q(2，1)，则圆C的方程为____________． (Ⅵ)已知圆C的圆心在直线y＝x上，圆C与直线x＋y＝0及x＋y＋4＝0都相切，则圆C的方程为____________________． (Ⅶ)圆心C在直线3x－y＝0上，与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程为__________________． 解析：设圆C的半径为r. (Ⅰ)(法一)依题意得点(－1，2)，(5，－6)为直径的两个端点，∴圆心坐标为线段AB的中点坐标，即(2，－2)，所求圆的半径r＝|AB|＝＝5，∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25. (法二)依题意得A(－1，2)，B(5，－6)，或A(5，－6)，B(－1，2)． 设S(x，y)为所求圆上任意一点，∵该圆以AB为直径，∴SA⊥SB或S与A重合或S与B重合，∴＝0，∴(－1－x，2－y)·(5－x，－6－y)＝(x＋1)(x－5)＋(y－2)·(y＋6)＝0，即x2＋y2－4x＋4y－17＝0，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25. (Ⅱ)(法一)∵点M在直线2x＋y－1＝0上， ∴设点M的坐标为(a，1－2a)． ∵点(3，0)和(0，1)均在圆M上， ∴点M到两点的距离相等且为半径r， ∴＝＝r，∴a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，∴M(1，－1)，r＝，∴圆M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. (法二)设E(3，0)，F(0，1)， 则线段EF的中点坐标为. 设EF的垂直平分线为直线l，则kl＝－＝－＝3， ∴l的方程为y－＝3，即3x－y－4＝0. 易知直线l经过圆心M，故联立解得 可得圆心坐标为M(1，－1)，∴圆M的半径r＝|ME|＝＝， ∴圆M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. (Ⅲ)(法一)∵圆C经过坐标原点和点(4，0)，设O(0，0)，A1(4，0)，则圆心在线段OA1的垂直平分线上，∴可设圆心坐标为(2，y0)． 又∵圆C与直线y＝1相切， ∴解得 ∴圆C的方程为(x－2)2＋2＝. (法二)根据题意画出圆C，过点C作CD⊥x轴于点D，延长CD交直线y＝1于点E，可知点E即为切点，DE＝1.连接CO，如图所示． 在Rt△ODC中，r2＝(r－1)2＋22，解得r＝， 则圆心坐标为， ∴圆C的标准方程为(x－2)2＋2＝. (Ⅳ)∵圆C的圆心在x轴的正半轴上，∴可设C(b，0)，b>0.又∵圆C的圆心到直线2x－y＝0的距离为，∴＝，解得b＝2或b＝－2(不合题意，舍去)，∴C(2，0)．又∵点N(0，)在圆C上，∴圆的半径r＝＝3，故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9. (Ⅴ)∵圆C与直线x－y＝1相切于点Q(2，1)，∴圆心C在直线y－1＝－(x－2)上，即在直线y＝－x＋3上． ∵点P(4，1)，Q(2，1)在圆C上，∴圆心C在直线x＝3上． 联立解得∴圆心C(3，0)， ∴圆C的半径r＝＝， ∴圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2. (Ⅵ)(法一)由题意设圆心坐标为(a1，a1)． ∵该圆与直线x＋y