(普查练习)第31课 直线与方程-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第31课 直线与方程 普查与练习31　直线与方程 1．直线的倾斜角与斜率 a．求直线的倾斜角和斜率的值(或范围) (1)(2024汇编，20分)根据题目条件，解决下列各题． ①在平面直角坐标系xOy中，已知直线l上的一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为(　　) A．－2 B．－ C. D．2 ②已知直线l：x＋2(sin2α－1)y＋1＝0的倾斜角为α，则α的可能取值是________． ③直线l过不同的两点A(cosθ，sin2θ)，B(0，1)，则直线l的倾斜角α的取值范围是________． ④已知点P在曲线y＝上，θ为曲线在点P处的切线的倾斜角，则θ的取值范围是(　　)(浙江东阳三模) A. B. C. D. 解析：①设平移前直线l上一点的坐标为(a，b)，将该点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，得到的点的坐标为(a＋2，b－4)．∵点(a，b)与点(a＋2，b－4)均在直线l上，∴直线l的斜率k＝＝－2.故选A. ②当2(sin2α－1)＝0时，sin2α＝1，sinα＝±1. ∵α∈[0，π)，∴α＝，此时直线l的方程为x＝－1，斜率不存在，故倾斜角α＝符合题意． 当2(sin2α－1)≠0时，则tanα＝－＝，即＝，整理得2sinαcosα＝sin2α＝1. ∵2α∈[0，2π)，∴2α＝，即α＝. 综上所述，α的可能取值是或. ③当cosθ＝0时，sin2θ＝1，∴A(0，1)，与点B重合，故cosθ≠0；当cosθ≠0时，tanα＝＝－＝－cosθ. ∵－1≤cosθ＜0或0<cosθ≤1，∴tanα∈[－1，0)∪(0，1]．又∵0≤α＜π，∴直线l的倾斜角α的取值范围是∪. ④y′＝＝. 根据基本不等式，ex＋＋2≥4，当且仅当ex＝(即x＝0)时，等号成立，∴y′∈[－，0)， ∴tanθ∈[－，0)，∴θ∈.故选D. b．求型代数式的取值范围 (2)(2024汇编，10分)已知x，y满足关系x＝. ①的取值范围是__________； ②若y≠0，则的取值范围是____________． 解析：①由x＝得x2＋y2＝1(0≤x≤1，－1≤y≤1)， ∴动点(x，y)在如图所示的右半圆上． ∵＝，∴的几何意义为动点(x，y)和定点A(－1，0)连线的斜率． 易知半圆与y轴的交点为B(0，1)，C(0，－1)，则kAB＝＝1，kAC＝＝－1，∴－1≤≤1. ∴的取值范围是[－1，1]． ②∵y≠0，∴x≠1. ∵＝，∴的几何意义为动点(x，y)和定点D(1，0)连线的斜率，如图所示． ∵kBD＝－1，kCD＝1，∴≥1或≤－1， ∴≤－1或≥1， ∴－1≤≤1且≠0，即的取值范围是[－1，0)∪(0，1]． c．求动直线与线段相交的问题 (3)(2024汇编，15分)根据题目条件，解决下列各题． ①已知直线l：y＝k(x－1)与以A(3，2)，B(0，1)为端点的线段有公共点，则k的取值范围是(　　) A．[－1，1] B．[－1，3] C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞) ②已知A(2，3)，B(－1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为(　　) A．1 B. C．－ D．－3 ③若直线l1：y＝kx－3与l2：2x＋3y－6＝0的交点在第一象限，则直线l1的倾斜角α的取值范围是________． 解析：①易知直线y＝k(x－1)过定点C(1，0)， 而kAC＝＝1，kBC＝＝－1， 根据直线斜率的变化情况， 可知k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．故选D. ②∵＝，∴可表示动点P(x，y)和定点Q(3，0)连线的斜率．∵点P(x，y)是线段AB上的任意一点，且kAQ＝＝－3，kBQ＝＝－， ∴－3≤≤－，∴的最大值为－.故选C. ③如图，直线l2: 2x＋3y－6＝0与x轴和y轴的交点分别为A(3，0)，B(0，2)，直线l1：y＝kx－3恒过定点P(0，－3)．根据图像易知，若直线l1与l2的交点在第一象限，则l1的倾斜角α大于直线PA的倾斜角且小于直线PB的倾斜角． ∵kPA＝1，∴直线PA的倾斜角为，∴＜α＜，即l1的倾斜角α的取值范围是. 2．直线的方程 a．灵活选择五种基本形式求直线的方程 (4)(2024汇编，25分)根据下列条件求直线l的方程． ①已知直线l的一个方向向量n＝(1，3)，且经过点(1，1)，则直线l的方程为________________； ②已知直线l经过点P(3，－1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距，则直线l的方程是________________； ③已知点A(1，2)，B(－1，4)