(普查练习)第20课 平面向量的应用-【提分宝典】2024版新高考数学一轮全考点普查随堂课后练

第20课 平面向量的应用 普查与练习20 Ⅰ　平面向量的应用 1．平面向量在几何问题中的应用 a．利用向量的运算解决线段的长度问题 (1)(江苏经典真题，5分)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9.若＝m＋(m为常数)，则CD的长度是________． 解析：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系， 则B(4，0)，C(0，3)，∴＝(4，0)，＝(0，3)． 由＝m＋， 得＝m(＋)＋(＋)， 整理得，＝－2m＋(2m－3)＝(－8m，0)＋(0，6m－9)＝(－8m，6m－9)． 由AP＝9，得64m2＋(6m－9)2＝81，解得m＝或m＝0. 当m＝0时，＝(0，－9)，此时C与D重合，CD＝0. 当m＝时，直线PA的方程为y＝x， 直线BC的方程为＋＝1， 联立两直线方程可得即D， ∴CD＝＝. 综上，CD的长度是0或. (2)(山西太原一模，5分)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，3csinA＝4bsinC，cosC＝，点D在线段AB上，且BD＝2DA，若△ABC的面积为2，则a＝__________，CD＝__________． 解析：由正弦定理及3csinA＝4bsinC，得3ac＝4bc，所以a＝.由余弦定理的推论，得cosC＝＝＝，整理得b＝c.因为cosC＝，所以sinC＝.因为△ABC的面积S＝absinC＝××b×＝2，所以b＝3，所以c＝3，a＝4.因为BD＝2DA，所以＝2，即－＝2(－)，整理得＝＋，所以2＝＋＋·＝4＋＋×4×3×＝，所以CD＝.故答案为a＝4，CD＝. b．利用向量的运算判断三角形或四边形的形状 (3)(四川内江期中，5分)在△ABC中，·＝0，且2＝·，则△ABC的形状为(　　) A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析：由2＝·，得·(－)＝0，即·(＋)＝0，即·＝0，所以AB⊥AC. 因为·＝0，所以·(－)＝0，所以－＋－＝0， 所以－||＋||＝0，即||＝||， 所以△ABC为等腰直角三角形．故选C. (4)(吉林月考，5分)在四边形ABCD中，＝，(＋)·(－)＝0，则这个四边形是(　　) A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 解析：由＝可得AD＝BC且AD∥BC， 即四边形ABCD为平行四边形． ∵(＋)·(－)＝·＝0，∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD为菱形．故选A. c．利用向量的运算研究三角形的四心问题 (5)(2024改编，5分)已知点O，N，P，M在△ABC所在平面内，且＝＝，＋＋＝0，·＝·＝·，＋＋＝0，则点O，N，P，M依次是△ABC的(　　) A．重心、外心、垂心、内心 B．重心、外心、内心、垂心 C．外心、重心、垂心、内心 D．外心、重心、内心、垂心 解析：∵＝＝，即点O到△ABC三个顶点的距离相等，∴点O是△ABC的外心．设AB，AC，BC的中点分别为D，E，F，∵＋＋＝0，∴＝－(＋)＝－2，∴＝.同理可得＝，＝，∴点N为三条中线CD，AF，BE的交点，即点N是△ABC的重心．∵·＝·，∴·(－)＝0，∴·＝0，∴PB⊥CA.同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，∴点P是△ABC的垂心．设与向量， 方向相同的单位向量分别为e1，e2，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c＝a＋b(＋)＋c(＋)＝(a＋b＋c)＋b＋c＝(a＋b＋c)＋bce1＋bce2＝0，∴＝e1＋e2＝(e1＋e2)，∴与e1＋e2共线．∵e1与e2分别是与，方向相同的单位向量，∴e1＋e2与∠BAC的平分线的方向向量共线，∴点M在∠BAC的平分线上．同理可得，点M在∠ABC的平分线上，点M在∠ACB的平分线上，∴点M是△ABC的三条角平分线的交点，即内心．故选C. (6)(2024改编，5分)已知点O为△ABC所在平面内一点，λ∈(0，＋∞)，若动点P1，P2，P3分别满足＝(＋)＋λ(＋)；＝＋λ；＝＋λ，则动点P1，P2，P3的轨迹分别经过△ABC的________．(填序号) ①内心 ②外心 ③重心 ④垂心 解析：设BC的中点为D. 对于点P1：因为D是BC的中点，所以＝(＋)，所以＝＋λ， 所以－＝＝λ， 两边同时点乘， 得·＝λ ＝λ ＝λ(－||＋||)＝0， 所以DP1⊥BC，所以点P1在BC的垂直平分线上，即点P1的轨迹经过△ABC的外心． 对于点P2：因为＝＋＝＋，＝＋λ，所以＝＋λ，所以－＝＝λ，所以A，P2，D三点共线． 因为AD为△ABC的边BC上的中线，所以点P2的轨迹经过△ABC的重心． 对于点P3：作∠BAC的平分线交BC于点E. 设＝，＝，则