专题07 平行线中的“拐点”问题-【备考先锋必刷题】2022-2023学年七年级数学下册期中期末复习（北师大版）

体系搭建 模型一：猪蹄与锯齿模型 【模型结论】 如图，直线MA∥NB，则：①∠APB＝∠A+∠B； ②∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3； ③∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 【证明】：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下 如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 【模型辨析】 ①注意：拐角为左右依次排列 ②若出现不是依次排列的，应进行拆分 模型二：铅笔模型 【模型结论】 如图1：AB∥CD，则∠1+∠2＝　180°； 如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝360°； 如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。 【证明】在图1中，∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°； 在图2中，过E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴EF∥CD， ∴∠1+∠AEF＝180°，∠3+∠CEF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图3中，过E作AB的平行线EN，过点F作AB的平行线FM， ∵AB∥CD，∴EN∥CD∥FM，∴∠1+∠AFM＝180°，∠MFE+∠FEN＝180°， ∠NEC+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝540°； 在图4中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 【模型辨析】 ①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分. 例题分析 考点1 平行线+单拐点模型 【例1】．已知：点A、C、B不在同一直线上，AD∥BE． （1）如图1，当∠A＝58°，∠B＝118°，∠C的度数为　 　． （2）如图1，求证：∠ACB﹣∠A+∠B＝180°． （3）如图2，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系，并说明理由． 变式训练 【变1-1】．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠BCD＝30°，则∠CDE＝　 　°． 【变1-2】．如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°．请问：AB与CD平行吗？请说明理由． 【变1-3】．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？ 考点2 平行线+多拐点模型 【例2】．如图1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°． （1）若∠E＝50°，请直接写出∠F的度数； （2）探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由； （3）如图2，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数． 变式训练 【变2-1】．如图，AB∥EF，∠BAC与∠CDE的角平分线交于点G，且GF∥DE，已知∠ACD＝90°，若∠AGD＝α，∠GFE＝β，则下列等式中成立的是（　　） A．α＝β B．2α+β＝90° C．3α+β＝90° D．α+2β＝90° 【变2-2】．如图，直线l1∥l2，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（　　） A．150° B．180° C．210° D．240° 【变2-3】．如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB＝　 　度． 【变2-4】．如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD＝120°，求∠BED的度数． 1．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题．如图所示，已知AB∥CD，∠BAE＝84°，∠DCE＝120°，则∠E的度数是（　　） A．36° B．38° C．39° D．42° 2．如图，若AB∥CD，则∠1+∠3﹣∠2的度数为（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 3．直线AB∥CD，在AB上任选一点E，将一直角三角板直角顶点放在E处，∠G＝30°，当∠AEF＝72°，此时∠CHF的大小是（　　） A．12° B．10° C．15° D．18° 4．已知，如图，AB∥C