2.5.2-2.5.3向量数量积的坐标表示（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（北师大版2019必修第二册）

2.5.2-2.5.3向量数量积的坐标表示 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：向量数量积的坐标表示 必会题型二：向量的模及夹角有关的问题 必会题型三：利用平面向量数量积解决垂直问题 必会题型四：数量积的坐标表示在平面几何中的应用 必会题型五：数量积的坐标表示综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 向量数量积的坐标表示 如图2-5.2-1，在平面直角坐标系中，设分别为轴和轴方向上的单位向量，则． 因为，所以． 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 【名师点睛】(1)引入向量数量积的坐标表示后，实现了向量的数量积与两个向量的坐标运算的转化． (2)通过向量的坐标，不需求向量的模和夹角，可直接求其数量积，简化了数量积的运算． 必会知识二 向量的模的坐标表示 设，则，或． 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么．这就是平面直角坐标系中两点间的距离公式． 【名师点睛】(1)模长公式是用坐标表示数量积的特例，即当时，可得． (2)的实质是两点间的距离或线段的长度，这也是向量的模的几何意义． 必会知识三 向量夹角公式的坐标表示 设与的夹角为，则， ． 【名师点睛】(1)已知两个非零向量的坐标，就可以利用该公式求得两向量的夹角． (2)利用夹角公式求夹角时，不包括中存在零向量的情况． (3)向量在向量方向上的投影数量的坐标表示：由于向量在向量方向上的投影数量为，因此向量在向量方向上的投影数量用坐标可以表示为． (4)运用平面向量数量积的坐标表示求两向量的夹角时，的符号由的值的正负确定．若，则，此时；若，则；若，则． (5)当时，向量与共线．当与同向时，；当与反向时，． 必会知识四 向量垂直的坐标表示 若非零向量，则． 【名师点睛】(1)应用向量垂直的坐标表示时要注意：由可得；，过来，由也可得． (2)若，则．前者是对应坐标交叉乘积之差；后者是对应坐标之积的和，注意后者两相量非零． 必会知识五 的应用 已知向量是与的夹角． 根据平面向量数量积及向量模的坐标表示，我们可以得到． ，即． 下面讨论向量共线的条件： (1)当向量与同向时，；当向量与反向时，． (2)由可知，若，则，则有；若，则，则有． 利用上述结论可以判断两向量是否共线． 不等式有着非常广泛的应用，由此还可以推广到一般(柯西不等式)情况： 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：向量数量积的坐标表示 1．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，则向量在方向上的射影为（    ） A． B． C． D． 2．[多选]（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）在边长为2的正三角形中，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023春·山东菏泽·高一校考阶段练习）已知向量，，且与共线，那么________________． 5．（2023春·甘肃白银·高一校考阶段练习）已知向量，，求： (1)； (2)； (3). 6．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，求： (1)的值； (2)的最大值． 必会题型二：向量的模及夹角有关的问题 1．已知平面向量，，则（    ） A． B．3 C． D．5 2．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考阶段练习）已知向量，若与方向相反，则=（    ） A．54 B．8 C． D． 3．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量与，，，，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．[多选]（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则向量在上的投影向量为 D．若向量与的夹角为钝角，则 6．[多选]（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知向量，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 7．（2023春·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知是两个互相垂直的单位向量，而，，则对于任意的实数，求的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．（2023春·河南洛阳·高一洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为____________. 9．（2023春·天津西青·高一校考阶段练习）已知：向量，， (1)求； (2)求，夹角的余弦值．