【教师备课精选】北师大版七年级数学上册基础知识讲解+教案：第五章第三节应用一元一次方程——水箱变高了（2份）

示范教案 教学重点与难点 教学重点：通过对实际问题所涉及的数学关系的理解，寻找图形变化中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化． 教学难点：寻找形变问题中的不变量，列出等量关系． 学情分析 认知基础：在前面第1节“认识一元一次方程”中，学生已经进行了大量的根据题意列出方程的练习，加之后面通过第2节习题中“问题解决”里的应用题的学习，学生已初步经历了一个从具体情境中抽象出数学问题，通过分析问题中的等量关系，建立方程模型解决实际问题的全过程，了解了用方程解决实际问题的一般步骤，有一定的分析问题和解决问题的能力．本节课涉及到图形问题，关键是让学生抓住形变过程中的不变量，对于基本图形的体积、面积、周长等公式，学生已在小学系统学习，如果遗忘或混淆，可做适当复习． 活动经验基础：在学习过程中通过师生、生生互动激发了学生面对问题、解决问题的热情和自信，从而在情感上对方程这个工具产生好感，实现了用算术法的逆向思维解题向代数法建立等量关系解题的平稳过渡．另外，学生在动手操作，合作交流，合理表达的过程中，为本节课的学习积累了一定的数学活动经验． 教学目标 通过分析图形、问题中的数量关系，建立方程解决问题．进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，认识方程模型的重要性． 教学方法 课前让学生准备橡皮泥和等长的线绳，在教师的引导下，通过学生亲自动手制作模型，自主探索在模型变化过程中的等量关系，建立方程，从而将图形问题代数化，从而达到化解难点，强化重点的教学效果． 教学过程 一、创设情境，引入新课 设计说明 “阿基米德检验皇冠”的故事可以激发学生探索问题的兴趣和热情，启发学生思维，体会形变中的不变，无形中有形．情境2的设计增强对“变高”的实质的感性认识，调动学生参与教学的积极性． 情境1：讲述“阿基米德检验皇冠”的故事后，提出问题：阿基米德要判断制作精美的皇冠是否纯金的，必须得知道皇冠的体积，那么在故事中阿基米德是用什么方法算出皇冠的体积的？ 在这个问题的讨论交流中，学生不难发现：皇冠的体积＝溢出容器的水的体积． 情境2：教师和学生一起动手操作，把一根“矮胖”形圆柱橡皮泥挤压成“瘦长”形圆柱，我们把这个变化形象地表示为圆柱变高了，从而引入课题——水箱变高了． 教学说明 故事的讲述侧重点要尽量倾向于建立“皇冠体积＝溢出水的体积”的等量关系．利用情境2引入课题，同时也为感受等量关系提供直观素材． 二、讲授新课 1．分析问题，探究新知 设计说明 在动手操作，直观感受的基础上，分析“水箱变高了”的真实含义． 问题1：在挤压橡皮泥的过程中，你发现哪些量发生了变化？什么量没有发生变化，你能列出等量关系吗？ 学生容易得出： (1)物体的形状发生了变化，由“矮胖”形的圆柱体变成了“瘦长”形的圆柱体．也就是说圆柱体的底面半径减小了，高度增大了； (2)圆柱体的体积没有发生变化，即“矮胖”形圆柱的体积＝“瘦长”形圆柱的体积； (3)“水箱变高了”实质上就是物体的变形问题，由一种形状变成了另一种形状，比如把橡皮泥由圆柱体也可以捏成正方体等． 问题2：复习常见图形的体积、面积、周长公式． 教学说明 结合提出的问题，组织学生讨论，重视图形变化过程中相等关系的建立，理顺变量与不变量的关系．教师可组织学生多做几个橡皮泥的图形变化，借此复习各种立体图形的体积公式，为例题的教学积累数学活动经验，化解难点，排除知识障碍． 2．应用新知，解决问题 设计说明 这是本节课最重要的教学环节，教材提供的两个例题分别涉及到锻压变形体积不变、等长变形的问题．教师有力地引导分析，学生充分地交流展示，富有启发性的解题感悟以及解题后的规律探究有利于学生掌握解决问题的基本解题技巧和方法，也有利于学生思维的拓展和创新． 引例：(课件展示)如下图，将一个底面直径是20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径是10厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？ 讨论分析：在锻压过程中哪些量改变了？哪些量没变？问题中的等量关系是什么？ 由情境2的启发，学生很容易得出结论： 圆柱的底面直径和高发生了变化，但圆柱的体积没有改变．所以，在这个问题中的等量关系是：锻压前的体积＝锻压后的体积． 列表分析：设锻压后圆柱的高为x厘米，填写下表： (单位：厘米) 锻压前 锻压后 底面半径 10 5 高 9 x 体积 π×102×9 π×52×x 解：设锻压后圆柱的高为x厘米． 根据题意，得π×52×x＝π×102×9. 解得x＝36. 答：锻压后高变成了36厘米． 规律探究：圆柱在锻压过程中，随着直径的变化，圆柱高度的变化有什么规律？ 直径 40 20 10 5[来源:学科网] 高 9 36 通过小组内分工协作，计算得出：当圆柱直径为40时，高度变为