专题10 因式分解之提公因式法、公式法-【备考先锋必刷题】2022-2023学年八年级数学下册期中期末复习（北师大版）

体系搭建 1、因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。 注意：（1）因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式； （2）因式分解是有范围的，现阶段在有理数范围内进行； （3）因式分解的结果要以积的形式表示，每个因式必须是整式； （4）因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止。 2、因式分解与整式乘法的关系 如果把整式乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程；如果把多项式的因式分解看成一个变形过程，那么整式乘法又是多项式的因式分解的逆过程。 3.提公因式法 （1）公因式的定义： 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 （2）确定公因式的方法： 确定公因式的一般步骤：（1）如果多项式的第一项系数是负数，应把公因式的符 号取“—”；（2）确定公因式的数字因数：当各项系数都是整数时，取多项式各项系 数的最大公约数为公因式的系数；（3）确定公因式的字母及其指数：取多项式各项都 含有的相同字母（或因式），其指数取最低次。 4、提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多 项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 提公因式法的依据是乘法的分配律，它的实质是单项式乘多项式时乘法分配律的 “逆用”。 5.公式法 （1）用平方差公式因式分解 把乘法公式中的反过来，就可得： （2）用完全平方公式因式分解 把乘法公式中的完全平方公式反过来，就可得： 3、因式分解的一般步骤 步骤：（1）有公因式先提公因式； （2）没有公因式，可以尝试公式法因式分解； （3）如果上述方法都不可以，可以先整理多项式，然后分解； （4）必须分解到最后。 例题分析 考点1 因式分解的定义 【例1】．下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 C．2a﹣1＝a（2﹣） D．x2+6x+8＝x（x+6）+8 变式训练 【变1-1】．已知关于x的多项式3x2﹣mx+n因式分解的结果为（3x+2）（x﹣1），则m、n的值分别为　 　． 【变1-2】．如图是由一个边长为m的正方形和两个长、宽分别为m，n的长方形拼成的一个大长方形，根据图形的面积关系可得一个关于因式分解的等式为 　 　． 考点2 提公因式法分解因式 【例2】．已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且a+2ab＝c+2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形，并说明理由． 变式训练 【变2-1】．如果多项式﹣6mn+18mnx+24mny的一个因式是﹣6mn，那么另一个因式是（　　） A．﹣1﹣3x﹣4y B．1﹣3x﹣4y C．﹣3x﹣4y D．1﹣3x+4y 【变2-2】．下列因式分解变形中，正确的是（　　） A．ab（a﹣b）﹣a（b﹣a）＝﹣a（b﹣a）（b+1） B．6（m+n）2﹣2（m+n）＝（2m+n）（3m+n+1） C．3（y﹣x）2+2（x﹣y）＝（y﹣x）（3y﹣3x+2） D．3x（x+y）2﹣（x+y）＝（x+y）2（2x+y） 【变2-3】．若a，b互为相反数，则a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）的值为　 　． 【变2-4】．已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（ 17﹣13x）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（30x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值． 考点3 平方差公式分解因式 【例3】．先分解因式化简，再求值：（）2﹣（）2，其中x＝﹣，y＝2010． 变式训练 【变3-1】．已知a、b、c为一个三角形的三条边长，则代数式（a﹣b）2﹣c2的值（　　） A．一定为负数 B．一定是正数 C．可能是正数，可能为负数 D．可能为零 【变3-2】．若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为 　 　． 【变3-3】．如图，某街心花园要在一块边长为am的正方形草地的四个角上各设计一个边长为bm（b＜）的正方形景点，利用分解因式，请同学们帮助计算，当a＝43，b＝5时，求剩余草地的面积． 考点4 完全平方法分解因式 【例4】．已知a﹣b＝1且ab＝2，求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值． 变式训练 【变4-1】．有下列式子：①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x3﹣2x﹣1；④；⑤4x4﹣x3+．其中，不能用完全平方公式分解的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变4-2】．若x+y＝2，则多项式的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16