第四章 第四节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P297] [保分练] 1．函数y＝sin 在区间上的简图是(　　) 解析　令x＝0，得y＝sin ＝－，排除B，D项，由f＝0，f＝0，排除C项，故选A. 答案　A 2．(2022·西安模拟)将函数y＝sin 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，所得到的图象的解析式是(　　) A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin 4x D．y＝cos 4x 解析　y＝sin →y＝sin →y＝sin ＝sin x. 答案　A 3．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　由题意，得＝－＝， 所以T＝π，由T＝，得ω＝2， 由图可知A＝1，所以f(x)＝sin (2x＋φ). 又因为f＝sin ＝0，－<φ<， 所以φ＝. 答案　B 4．已知函数f(x)＝sin ，若方程f(x)＝在(0，π)内的解为x1，x2(x1<x2)，则sin (x1－x2)＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析　因为0<x<π，所以2x－∈. 又因为x1，x2是sin ＝的两根． 结合图象可知＝， 所以x2＝－x1， 所以sin (x1－x2)＝sin ＝－cos . 又因为x1<x2，x2＝－x1， 所以0<x1<， 所以2x1－∈， 所以cos ＝ ＝， 所以sin(x1－x2)＝－. 答案　A 5．(2022·广东七校联合体第二次联考)已知函数f(x)＝sin 2x，则(　　) A．f(x)的最小正周期为 B．将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝cos 2x C．f(x)的图象关于点对称 D．f(x)的图象关于直线x＝对称 解析　f(x)＝sin 2x的最小正周期T＝＝π，A选项错误．f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin ＝sin ＝cos 2x的图象，B选项正确．f＝sin ＝1≠0，所以不是f(x)的图象的对称中心，C选项错误．f＝sin π＝0≠±1，所以直线x＝不是f(x)的图象的对称轴，D选项错误．故选B. 答案　B 6．将函数y＝cos x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y＝sin 的图象，则φ＝________． 解析　将y＝cos x＝sin 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后得到y＝sin 的图象， 故sin ＝sin ，即＋φ＝－＋2kπ， k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.又∵0≤φ<2π， ∴φ＝. 答案　 7．设函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)，若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则φ＝________． 解析　由f(x)的最小正周期大于2π，得>.又f＝2，f＝0，得＝－＝，所以T＝3π，则＝3π⇒ω＝，所以f(x)＝2sin (ωx＋φ)＝2sin . 由f＝2sin ＝2⇒sin ＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又|φ|<，取k＝0，得φ＝. 答案　 8．(2022·佛山质量检测)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，图中f(0)＝，f＝0，则f＝________． 解析　由已知可得f(0)＝sin φ＝，f(x)在x＝0处附近单调递增，且0<φ<π， 故φ＝，又点是函数f(x)＝sin 的图象在y轴右侧的第一个对称中心，所以＋＝π，可得ω＝2，故f(x)＝sin ，因此f＝sin ＝sin ＝－sin ＝－. 答案　－ 9．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调递增区间． 解析　(1)依题意得A＝5， 周期T＝4＝π，∴ω＝＝2. 故f(x)＝5sin (2x＋φ)， 又图象过点P，∴5sin ＝0， 由已知，可得＋φ＝kπ，k∈Z， ∵|φ|<，∴φ＝－， ∴f(x)＝5sin . (2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). 10．设函数f(x)＝sin ＋sin ，其中0<ω<3，且f＝0. (1)求ω； (2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值． 解析　(1)因为f(x)＝sin ＋sin ， 所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx ＝sin ωx－cos ωx＝ ＝sin . 因为f＝0，所以－＝kπ，k∈Z. 故ω＝6k＋2，k∈Z.又0<ω<3，