第四章 第三节　三角函数的图象与性质-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P295] [保分练] 1．函数f(x)＝ln (cos x)的定义域为(　　) A．，k∈Z B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z C．，k∈Z D．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z 解析　由题意知，cos x>0，∴2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，∴函数f(x)的定义域为，k∈Z. 答案　C 2．函数f(x)＝sin －，则下列表述正确的是(　　) A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 解析　f(x)＝sin －，由2x＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，当k＝0时，x∈，所以函数f(x)在上单调递增，又⊆，故选D. 答案　D 3．函数f(x)＝sin 在区间上的最小值为(　　) A．－1 B．－ C． D．0 解析　由已知x∈，得2x－∈， 所以sin ∈ 故函数f(x)＝sin 在区间上的最小值为－.故选B. 答案　B 4．函数f(x)＝sin (x＋θ)在[0，π]上为增函数，则 θ的值可以是(　　) A．0 B． C．π D． 解析　当θ＝0时，f(x)＝sin x在[0，π]上不单调，故A不正确；当θ＝时，f(x)＝cos x在[0，π]上单调递减，故B不正确；当θ＝π时，f(x)＝－sin x在[0，π]上不单调，故C不正确；当θ＝时，f(x)＝－cos x在[0，π]上单调递增，故D正确． 答案　D 5．(2022·西安五校联考)已知函数f(x)＝cos2x＋sin x－的定义域为[0，m]，值域为，则实数m的最大值为(　　) A．π B． C． D． 解析　由已知，得f(x)＝cos2x＋sin x－＝1－sin2x＋sin x－＝－sin2x＋sin x＋，令t＝sin x，则t∈[－1，1]，函数f(x)可转换为y＝－t2＋t＋＝－＋1，因为y∈，所以根据二次函数的图象与性质可得t∈[0，1]，所以sin x∈[0，1]，又x∈[0，m]，所以根据三角函数的图象与性质可得m∈，所以实数m的最大值为π，故选A. 答案　A 6．(2022·北京卷)若函数f(x)＝A sin x－cos x的一个零点为，则A＝________；f＝________． 解析　f＝A sin －cos ＝A－＝0，解得A＝1. f(x)＝sin x－cos x＝2sin ， 故f＝2sin ＝2sin ＝－. 答案　1　－ 7．若函数f(x)＝2tan 的最小正周期T满足1<T<2，则自然数k的值为________． 解析　由题意，得1<<2， ∴k<π<2k，即<k<π， 又k∈Z，∴k＝2或3. 答案　2或3 8．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，f＋f＝0，且f(x)在区间上单调递减，则ω＝________． 解析　因为f(x)在上单调递减，且f＋f＝0，所以f＝0，即f＝0， 因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin ， 所以f＝2sin ＝0， 所以ω＋＝kπ(k∈Z)，解得ω＝3k－1(k∈Z). 又·≥－，ω>0， 所以ω＝2. 答案　2 9．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间； (2)求f(x)在上的最大值和最小值． 解析　(1)f(x)＝4cos ωx sin ＝4cos ωx ＝2sin ωx cos ωx－2cos2ωx ＝sin 2ωx－cos 2ωx－1 ＝2sin －1， 且f(x)的最小正周期是＝π，所以ω＝1， 从而f(x)＝2sin －1. 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 所以函数f(x)在(0，π)上的单调递增区间为和. (2)当x∈时，2x∈， 所以2x－∈， 2sin ∈， 所以当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1， 当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1， 所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－1. 10．已知函数f(x)＝a＋b. (1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间； (2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值． 解析　已知函数f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b ＝a sin ＋a＋b. (1)当a＝－1时，f(x)＝－sin ＋b－1， 由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， ∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤， ∴－≤sin ≤1，依题意知a≠0. ①当a>0时，∴a＝3－3，b＝5； ②当a<0时，∴a＝3－3，b＝8. 综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3