第四章 第六节 第2课时　解三角形应用举例-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P305] [保分练] 1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80° 解析　由条件及题图可知∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°. 答案　D 2．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　) A．10 km B．10 km C．10 km D．10 km 解析　由余弦定理，可得AC2＝AB2＋CB2－2AB×CB×cos 120°＝102＋202－2×10×20×＝700.所以AC＝10(km). 答案　D 3.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　) A．240(－1) m B．180(－1) m C．120(－1) m D．30(＋1) m 解析　因为tan 15°＝tan (60°－45°)＝＝2－，所以BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m). 答案　C 4．在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan ∠BAC＝－3，则BC边上的高等于(　　) A．1 B． C． D．2 解析　法一　因为tan ∠BAC＝－3，所以sin ∠BAC＝，cos ∠BAC＝－.由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos ∠BAC＝5＋2－2×××＝9，所以BC＝3，所以S△ABC＝AB·AC sin ∠BAC＝×××＝，所以BC边上的高h＝＝＝1. 法二　在△ABC中，因为tan ∠BAC＝－3<0，所以∠BAC为钝角，因此BC边上的高小于，结合选项可知选A. 答案　A 5．已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处．若cos α＝cos β，则v＝(　　) A．60 B．80 C．100 D．125 解析　画出图象如图所示，由余弦定理，得(2.5v)2＝2002＋1502＋2×200×150cos (α＋β)　①， 由正弦定理，得＝，所以sin α＝sin β.又cos α＝cos β，sin2α＋cos2α＝1，解得sinβ＝，故cos β＝，sin α＝，cos α＝，故cos (α＋β)＝－＝0，代入①解得v＝100. 答案　C 6．在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________． 解析　由余弦定理，知72＝52＋BC2－2×5×BC×cos 120°， 即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3(负值舍去). 故S△ABC＝AB·BC sin B＝×5×3×＝. 答案　 7．为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B的同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1 m，则发射塔高AB＝________ m. 解析　如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则EF＝BC，BF＝CE＝1，∠AEF＝30°. 在△BCD中，由正弦定理，得 BC＝＝＝20. 所以EF＝20，在Rt△AFE中，AF＝EF·tan ∠AEF＝20×＝20. 所以AB＝AF＋BF＝20＋1(m). 答案　20＋1 8．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝，点D在边BC上，AD＝1，且BD＝2DC，∠BAD＝2∠DAC，则＝________． 解析　由∠BAC＝及∠BAD＝2∠DAC，可得∠BAD＝，∠DAC＝.由BD＝2DC，令DC＝x，则BD＝2x.因为AD＝1，在△ADC中，由正弦定理，得＝，所以sin C＝，在△ABD中，sin B＝＝，所以＝＝. 答案　 9.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1. (1)若AC＝，求△ABC的面积； (2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin ∠CAD. 解析　(1)在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC， 即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝， 所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝. (2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理，得＝， 即＝，　① 在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－＝θ－， 由正弦定理，得＝， 即＝，　②