第三章 第二节 第4课时　利用导数研究恒(能)成立问题-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P289] [提升练] 1．设函数f(x)＝ln x＋(a为常数). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)不等式f(x)≥1在x∈(0，1]上恒成立，求实数a的取值范围． 解析　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－＋＝， 当a≤0时，又x>0，∴x－a>0，∴f′(x)>0， ∴f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增； 当a>0时，若x>a，则f′(x)>0，∴f(x)单调递增； 若0<x<a，则f′(x)<0，∴f(x)单调递减． 综上可知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>0时，f(x)在区间(0，a)上单调递减，在区间(a，＋∞)上单调递增． (2)f(x)≥1⇔＋ln x≥1⇔≥－ln x＋1⇔ a≥－x ln x＋x对任意x∈(0，1]恒成立． 令g(x)＝－x ln x＋x，x∈(0，1]. 则g′(x)＝－x ln x－x·＋1＝－ln x≥0， x∈(0，1]， ∴g(x)在(0，1]上单调递增． ∴g(x)max＝g(1)＝1， ∴a≥1，故a的取值范围为[1，＋∞). 2．已知函数f(x)＝x ln x(x>0). (1)求函数f(x)的极值； (2)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≤成立，求实数m的最小值． 解析　(1)由f(x)＝x ln x，得f′(x)＝1＋ln x， 令f′(x)>0，得x>； 令f′(x)<0，得0<x<. 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增． 所以f(x)在x＝处取得极小值， 且为f＝－，无极大值． (2)由f(x)≤，得m≥. 问题转化为m≥. 令g(x)＝＝2ln x＋x＋(x>0). 则g′(x)＝＋1－＝＝. 由g′(x)>0，得x>1；由g′(x)<0，得0<x<1. 所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 所以g(x)min＝g(1)＝4，则m≥4. 故m的最小值为4. [冲刺练] 3．(2022·沈阳质量监测)已知f(x)＝ex－1－x. (1)求证：对于任意x∈R，f(x)≥0恒成立； (2)若对于任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥a(x2－x－x ln x)恒成立，求实数a的取值范围． 解析　(1)证明　由f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1－1， 令f′(x)＝0，得x＝1. 当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 故f(x)在x＝1处取得极小值，即最小值f(1)＝0， 故对于任意x∈R，f(x)≥0恒成立． (2)由f(x)≥a(x2－x－x ln x)，得ex－1－x≥a(x2－x－x ln x). 由x>0，得－1≥a(x－1－ln x)，即－1≥a(x－1－ln x)， 得ex－1－ln x－1≥a(x－1－ln x).(把x－1－ln x看成整体) 设g(x)＝x－1－ln x(x>0)，则g′(x)＝1－，令g′(x)＝0，得x＝1. 当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 故g(x)在x＝1处取得极小值，即最小值g(1)＝0， 即et－1≥at对任意t∈[0，＋∞)恒成立． 设h(x)＝ex－ax－1(x≥0)，则h′(x)＝ex－a， 当a≤1时，h′(x)＝ex－a≥0，即h(x)在[0，＋∞)上单调递增， 而h(0)＝0，则h(x)≥0恒成立． 当a>1时，令h′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a， 当x∈(0，ln a)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， 而h(0)＝0， 故x∈(0，ln a)时，h(x)<0，即h(x)≥0不恒成立． 综上，a的取值范围为(－∞，1]. 4．已知函数f(x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex. (1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值； (2)当a<1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f(x1)<g(x2)成立，求a的取值范围． 解析　(1)f′(x)＝. ①当a≤1，x∈[1，e]时，f′(x)≥0， f(x)单调递增，f(x)min＝f(1)＝1－a. ②当1<a<e， x∈[1，a]时，f′(x)≤0，f(x)单调递减； x∈[a，e]时，f′(x)≥0，f(x)单调递增； 所以f(x)min＝f(a)＝a－(a＋1)ln a－1. ③当a≥e，x∈[1，e]时，f′(x)≤0， f(x)在[1，e]上单调递减． f(x)min＝f(e)＝e－(a＋1)－， 综上，当a≤1时，f(x)min＝1－a； 当1<a<e时，f(x)min＝a－(a＋1)ln a－1； 当a≥e时，f(x)m