第三章 第二节 第3课时　利用导数证明不等式-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P288] [提升练] 1．已知函数f(x)＝－ln x. (1)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)； (2)求证：ln ≤. 解析　(1)f(x)＝－ln x＝1－－ln x， f(x)的定义域为(0，＋∞). ∵f′(x)＝－＝， 由f′(x)>0，得0<x<1，由f′(x)<0，得x>1， ∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴f(x)在上的最大值为f(1)＝1－－ln 1＝0. 又f＝1－e－ln ＝2－e， f(e)＝1－－ln e＝－，且f<f(e)， ∴f(x)在上的最小值为f＝2－e. 综上，f(x)在上的最大值为0，最小值为2－e. (2)证明　要证ln ≤， 即证2－ln x≤1＋，即证1－－ln x≤0， 即证f(x)≤0. 由(1)可知，f(x)＝1－－ln x在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在(0，＋∞)上的最大值为f(1)＝1－1－ln 1＝0， 即f(x)≤0恒成立， ∴1－－ln x≤0恒成立，故原不等式得证． 2．已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a<0时，证明：f(x)≤－－2. 解析　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝. 若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 若a<0，则当x∈时，f′(x)>0； 当x∈时，f′(x)<0. 故f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)证明　由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln －1－， 所以f(x)≤－－2等价于ln －1－≤－－2， 即ln ＋＋1≤0. 设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝－1. 当x∈(0，1)时，g′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0. 所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0. 所以当x>0时，g(x)≤0. 从而当a<0时，ln ＋＋1≤0， 即f(x)≤－－2. [冲刺练] 3．已知函数f(x)＝xex，g(x)＝(e－1)x2＋x ln x＋x. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程； (2)证明：f(x)≥g(x). 解析　(1)f′(x)＝(x＋1)ex，切点坐标为(1，e)， 则有f′(1)＝2e. 所以切线方程为y－e＝2e(x－1)， 即2ex－y－e＝0. (2)证明　要证xex≥(e－1)x2＋x ln x＋x， 即证≥＋e－1.令h(x)＝(x>0)， 则h′(x)＝， 当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 所以h(x)≥h(1)＝e. 令φ(x)＝＋e－1，φ′(x)＝， 当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减， 所以φ(x)≤φ(1)＝e. 所以h(x)≥φ(x)，即f(x)≥g(x). 4．(2022·重庆模拟)已知函数f(x)＝. (1)讨论f(x)的单调性； (2)已知a，b∈R，且ab≠0，若aea＋b－aeb＝bea＋b－bea，求证：a＋b>0. 解析　(1)因为f(x)＝＝x－， 所以f(x)的定义域为R， f′(x)＝1－＝1－＝. 因为y＝ex在R上单调递增，y＝x－1在R上单调递增， 所以y＝ex＋x－1在R上单调递增． 当x＝0时，ex＋x－1＝e0＋0－1＝0， 令f′(x)>0可得x>0；令f′(x)<0可得x<0. 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)证明　aea＋b－aeb＝bea＋b－bea，等式左右两边同时除以ea＋b，可得 a－＝b－，即f(a)＝f(b). 因为f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以a，b一正一负． 不妨设a<0<b， 要证a＋b>0，即证a>－b. 因为a<0<b，所以－b<0. 因为f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以要证a>－b，即证f(a)<f(－b). 因为f(a)＝f(b)，所以要证f(a)<f(－b)， 即证f(b)<f(－b)，即证f(b)－f(－b)<0. 设g(x)＝f(x)－f(－x)＝－＝＋x(1－ex)，x>0， 则g′(x)＝f′(x)＋1－ex－xex＝＋1－ex－xex＝＝. 令h(x)＝－(x＋1)e2x＋2ex＋x－1，x>0， 则h′(x)＝－e2x－2(x＋1)e2x＋2ex＋1＝－(2x＋3)e2x＋2ex＋1.