第七章 第一节　不等关系与一元二次不等式-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P322] [保分练] 1．已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则(　　) A．ab>0 B．ab<0 C．a＋b>0 D．a＋b<0 解析　因为<，所以－＝<0，又a>b， 所以b－a<0，所以ab>0. 答案　A 2．已知x>y>z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是(　　) A．xy>yz B．xz>yz C．xy>xz D．x|y|>z|y| 解析　因为x>y>z，所以3x>x＋y＋z＝0，3z<x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0， 由得xy>xz.故选C. 答案　C 3．不等式>1的解集为(　　) A． B．(－∞，1) C．∪(1，＋∞) D． 解析　原不等式等价于－1>0， 即>0，整理得<0， 不等式等价于(2x－1)(x－1)<0，解得<x<1. 答案　A 4．在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析　由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，所以x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．因为x2－x＋1＝＋≥，所以a2－a≤，解得－≤a≤，则实数a的最大值为.故选D. 答案　D 5．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是(　　) A．13 B．18 C．21 D．26 解析　设f(x)＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示． 若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数， 则即 解得5<a≤8，又a∈Z，故a＝6，7，8. 则所有符合条件的a的值之和是6＋7＋8＝21. 答案　C 6．若α，β满足则α＋3β的取值范围是________． 解析　设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β. 则解得 因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. 所以α＋3β的取值范围为[1，7]. 答案　[1，7] 7．若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________． 解析　当k＝0时，显然成立； 当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立， 则 解得－3<k<0.综上，满足不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3，0]. 答案　(－3，0] 8．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是________． 解析　由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－，故a的驭值范围为. 答案　 9．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R. (1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值； (2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立，试求实数a的取值范围． 解析　(1)依题意得y＝＝＝x＋－4. 因为x>0，所以x＋≥2，当且仅当x＝时， 即x＝1时，等号成立．所以y≥－2. 所以当x＝1时，y＝的最小值为－2. (2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1， 所以要使“∀x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立”， 只要“x2－2ax－1≤0在[0，2]上恒成立”． 不妨设g(x)＝x2－2ax－1， 则只要g(x)≤0在[0，2]上恒成立即可． 所以即解得a≥. 则实数a的取值范围为. 10．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m<n). (1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集； (2)若a>0，且0<x<m<n<，比较f(x)与m的大小． 解析　(1)由题意，知F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)， 当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0， 即a(x＋1)(x－2)>0. 当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}； 当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}． (2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m ＝(x－m)(ax－an＋1)， 因为a>0，且0<x<m<n<， 所以x－m<0，1－an＋ax>0. 所以f(x)－m<0，即f(x)<m. [提升练] 11．若<<0，给出下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2.其中正确的不等式的序号是(　　) A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 解析　因为<<0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|