第六章 第五节　数列的综合应用-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P320] [保分练] 1．(2022·宜昌测试)已知数列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则数列{bn}的前2023项和为(　　) A．－4 B．－5 C．1 D．－1 解析　由“凸数列”的定义及b1＝1，b2＝－2，得b3＝－3，b4＝－1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝－2，…，∴数列{bn}是周期为6的周期数列，且b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝0，于是数列{bn}的前2023项和等于b1＝1，故选C. 答案　C 2．在正项数列{an}中，a1＝2，且点P(ln an，ln an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋ln 2＝0上．若数列{an}的前n项和Sn满足Sn>200，则n的最小值为(　　) A．2 B．5 C．6 D．7 解析　将点P的坐标(ln an，ln an＋1)(n∈N*)代入x－y＋ln 2＝0中，可得an＋1＝2an，所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，Sn＝＝2n＋1－2，令Sn>200，则2n＋1>202，所以n的最小值为7. 答案　D 3．一百零八塔，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群．该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔．则该塔的阶数是(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 解析　由第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，则前四阶共12座．则从第五阶后共有108－12＝96座．设第五阶塔的数目为a1，则a1＝5，设从第五阶开始自上而下，每一层的塔的数目为an，由从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列．所以an＝a1＋(n－1)d＝5＋2(n－1)＝2n＋3，所以Sn＝＝n2＋4n，所以由Sn＝n2＋4n＝96，解得n＝8或n＝－12(舍去).所以该塔的阶数是4＋8＝12.故选C. 答案　C 4．已知{an}，{bn}均为等差数列，且a2＝8，a6＝16，b2＝4，b6＝a6，则由{an}，{bn}的公共项组成的新数列{cn}的通项公式cn＝(　　) A．3n＋4 B．6n＋2 C．6n＋4 D．2n＋2 解析　设{an}的公差为d1，{bn}的公差为d2， 则d1＝＝＝2，d2＝＝＝3. ∴an＝a2＋(n－2)×2＝2n＋4， bn＝b2＋(n－2)×3＝3n－2. ∴数列{an}为6，8，10，12，14，16，18，20，22，…，数列{bn}为1，4，7，10，13，16，19，22，…. ∴{cn}是以10为首项，以6为公差的等差数列， ∴cn＝10＋(n－1)×6＝6n＋4. 答案　C 5．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析　由题意可知a，b是x2－px＋q＝0的两根， ∴a＋b＝p>0，ab＝q>0，故a，b均为正数． ∴若a，b，－2适当排序后成等比数列， 则－2是a，b的等比中项，得ab＝4， ∴q＝4，又a，b，－2适当排序后成等差数列， ∴－2是第一项或第三项， 不妨设a<b，且－2为该等差数列的第一项， 则－2，a，b成递增的等差数列， ∴2a＝b－2，联立 消去b得a2＋a－2＝0，得a＝1或a＝－2， 又a>0，∴a＝1，此时b＝4， ∴p＝a＋b＝5，∴p＋q＝9.故选D. 答案　D 6．定义函数f(x)如下表，数列{an}满足an＋1＝f(an)，n∈N*.若a1＝2，则a1＋a2＋a3＋…＋a2023＝________． x 1 2 3 4 5 6 f(x) 3 5 4 6 1 2 解析　由题意，∵a1＝2，且对任意n∈N*均有an＋1＝f(an)，∴a2＝f(a1)＝f(2)＝5，a3＝f(a2)＝f(5)＝1，a4＝f(a3)＝f(1)＝3，a5＝f(a4)＝f(3)＝4，a6＝f(a5)＝f(4)＝6，a7＝f(a6)＝f(6)＝2，…，∴数列{an}是一个周期性变化的数列，周期为6，且a1＋a2＋a3＋…＋a6＝21.故a1＋a2＋a3＋…＋a2023＝337×(a1＋a2＋a3＋…＋a6)＋a1＝7077＋2＝7079. 答案　7079 7．在1和17之间插入n－2(n≥4，n∈N*)个数，使这n个数成等差数列．若这n－2个数中第一个为a，第n－2个为b，当＋取最小值时，n的值为