第九章 第五节 第2课时　直线与椭圆-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P352] [保分练] 1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞) C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞) 解析　由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ＞0且m≠3及m＞0，得m＞1且m≠3.故选B. 答案　B 2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析　由题意得直线y－1＝k(x－1)恒过定点(1，1)，而点(1，1)在椭圆＋＝1的内部，所以直线与椭圆相交． 答案　A 3．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的最大弦长是(　　) A．2 B． C．4 D．不能确定 解析　直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)， 则弦长为＝＝， 当y＝－时，弦长最大为. 答案　B 4．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析　kAB＝＝，kOM＝－1， 由kAB·kOM＝－，得＝，∴a2＝2b2. ∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9， ∴椭圆E的方程为＋＝1 答案　D 5．(2022·青岛质检)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于－，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析　设内层椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，∵内外椭圆离心率相同，∴外层椭圆可设成＋＝1(m>1)，设切线AC的方程为y＝k1(x＋ma)，与＋＝1联立得(b2＋a2k)x2＋2ma3kx＋m2a4k－a2b2＝0，由Δ＝0，则k＝·，同理可得k＝·(m2－1)，∴k·k＝＝，则＝，因此，e＝＝＝＝.故选D. 答案　D 6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是________． 解析　设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得＝，e＝＝. 答案　 7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)左焦点为F1(－1，0)，经过点F1的直线l与圆F2：(x－1)2＋y2＝8相交于P，Q两点，M是线段PF2与C的公共点，且|MF1|＝|MP|. (1)求椭圆C的方程； (2)l与C的交点为A，B，且A恰为线段PQ的中点，求△ABF2的面积． 解析　(1)由圆F2：(x－1)2＋y2＝8可得|PF2|＝2，因为|MF1|＝|MP|， 所以2a＝|MF1|＋|MF2|＝|MP|＋|MF2|＝|PF2|＝2，即a＝，又c＝1，故b＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为A为线段PQ的中点，则AF1⊥AF2， 所以·＝x＋y－1＝0，又＋y＝1， 解得x1＝0，y1＝±1， 若y1＝1，则A(0，1)，直线l的方程为y＝x＋1， 由解得即B， 所以△ABF2的面积S＝|F1F2|·|y1－y2|＝×2×＝， 若y1＝－1，同理可求得△ABF2的面积S＝， 综上所述，△ABF2的面积为. 8．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，E的离心率为，点(0，1)是E上一点． (1)求椭圆E的方程； (2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且＝2，求直线BF2的方程． 解析　(1)由题意知，b＝1，且e2＝＝＝， 解得a2＝2，所以椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，故可设直线AB的方程为x＝my－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2). 由得(m2＋2)y2－2my－1＝0， 则y1＋y2＝，① y1y2＝－，② 因为F1(－1，0)， 所以＝(－1－x2，－y2)，＝(x1＋1，y1)， 由＝2，可得－y2＝2y1，③ 由①②③，可得B，则kBF2＝或－，所以直线BF2的方程为 x－6y－＝0或x＋6y－＝0. [提升练] 9．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1 解析　由题意，A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以＝(－a，－