第九章 第五节 第1课时　椭圆及其性质-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P350] [保分练] 1．“2＜m＜6”是“方程＋＝1为椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若方程＋＝1表示椭圆， 则解得2＜m＜6且m≠4， 所以2＜m＜6是方程＋＝1表示椭圆的必要不充分条件． 答案　B 2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A．－＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．＋＝1 解析　设圆M的半径为r. 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|， 所以M的轨迹是以C1C2为焦点的椭圆， 且2a＝16，2c＝8， 所以a＝8，c＝4，b＝＝4， 故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1. 答案　D 3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2的椭圆方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析　由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，b＝2，a2＝25，所以所求椭圆方程为＋＝1. 答案　B 4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析　由题意知2a＝6，2c＝×6，所以a＝3，c＝1，则b＝＝2，所以此椭圆的标准方程为＋＝1. 答案　B 5．若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析　设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示， 因为|OB|＝a所以|OA|＝a， 所以点A的坐标为， 又点A在椭圆上，所以＋＝1，所以a2＝3b2， 所以a2＝3(a2－c2)，所以3c2＝2a2， 所以椭圆的离心率e＝＝ 答案　D 6．焦距是8，离心率等于的椭圆的标准方程为________． 解析　由题意知解得 又b2＝a2－c2，∴b2＝9， 当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1， 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1， 答案　＋＝1或＋＝1 7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 解析　由题意得2a＋2c＝2×2b，即a＋c＝2b. 又c2＝a2－b2，消去b整理，得5c2＝3a2－2ac， 即5e2＋2e－3＝0， ∴e＝或e＝－1(舍去). 答案　 8．设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是________． 解析　设P，F1(－c，0)，F2(c，0)， 由线段PF1的中垂线过点F2得|PF2|＝|F1F2|， 即 ＝2c， 得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0， 即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0， 解得e2≥，又0<e<1，故≤e<1. 答案　 9．已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点．求点M的轨迹方程． 解析　由题意得F1(－1，0)，F2(1，0)，圆F1的半径为4，且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2|， 所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为， 所以点M的轨迹方程为＋＝1. 10.如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为2，且2＝2，求椭圆的方程． 解析　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c. 所以a＝c，e＝＝. (2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)， 由＝2，得 解得x＝，y＝－. 代入＋＝1，得＋＝1. 即＋＝1，解得a2＝3. 所以椭圆方程为＋＝1. [提升练] 11．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图①所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图②所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图③所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图①②③中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，，，设图①②③中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则(　　) A．e1>e3>e2 B．e2>e3>e1 C．e1>e