第九章 第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P348] [保分练] 1．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 解析　直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0， ∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内部， 直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交． 答案　C 2．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　) A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0 解析　由题意，过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3，1)在圆上，代入可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3，1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0. 答案　B 3．已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为(　　) A．或－ B．或－ C． D． 解析　因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得＝1，所以a＝±，故选B. 答案　B 4．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m＝(　　) A．2或10 B．4或8 C．4或6 D．2或4 解析　圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72的圆心C的坐标为(3，3)，半径r＝6， 因为直线x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点， 所以圆心到直线的距离为2， 则有d＝＝2，解得m＝2或10，故选A. 答案　A 5．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t，0)，B(t，0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数t的最小值为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析　由∠APB＝90°得，点P在圆x2＋y2＝t2上，因此由两圆有交点得|t－1|≤|OC|≤t＋1⇒|t－1|≤2≤t＋1⇒1≤t≤3，即t的最小值为1. 答案　D 6．若直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程是________________． 解析　依题意，直线l：y＝kx＋1过定点P(0，1).圆C：x2＋y2－2x－3＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4.故圆心为C(1，0)，半径为r＝2.则易知定点P(0，1)在圆内．由圆的性质可知当PC⊥l时，直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短．因为kPC＝＝－1，所以直线l的斜率k＝1，即直线l的方程是x－y＋1＝0. 答案　x－y＋1＝0 7．已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________________． 解析　由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，圆心坐标为(a，0)(a＞0)， 由题意知＋2＝(a－1)2， 解得a＝3或－1(舍去)， 故圆心坐标为(3，0)， 因为圆心(3，0)在所求的直线上， 所以3＋0＋m＝0， 解得m＝－3， 故所求的直线方程为x＋y－3＝0. 答案　x＋y－3＝0 8．已知直线x－y＋a＝0与圆C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________． 解析　由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆C的圆心坐标为C(－1，2)，半径为3， 由AC⊥BC，可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为， 由点到直线的距离公式可得＝， 解得a＝0或a＝6. 答案　0或6 9．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由； (2)证明：过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值． 解析　(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下： 设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程x2＋mx－2＝0的两根，所以x1x2＝－2，又点C的坐标为(0，1)，则·＝(－x1，1)·(－x2，1)＝x1x2＋1＝－2＋1＝－1≠0，所以不能出现AC⊥BC的情况． (2)证明　设过A，B，C三点的圆