第八章 第二节　空间几何体的表面积、体积-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P334] [保分练] 1．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是(　　) A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶4 解析　设正方形边长为1，则S侧＝2π××1＝π，S表＝S侧＋2S底＝π＋2π·＝π.所以S侧∶S表＝2∶3. 答案　B 2．已知圆锥的高为3，底面半径长为4.若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径长为(　　) A．5 B． C．9 D．3 解析　∵圆锥的底面半径R＝4，高h＝3， ∴圆锥的母线l＝5， ∴圆锥的侧面积S＝πRl＝20π.设球的半径为r，则4πr2＝20π，∴r＝.故选B. 答案　B 3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　　) A．8 B．6 C．8 D．8 解析　连接BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝2.又B1C1＝2，所以BB1＝＝2，故该长方体的体积V＝2×2×2＝8. 答案　C 4．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为(　　) A．4π B．2π C． D．π 解析　由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tan α＝＝，得α＝， 故底面面积为××22＝，则该几何体的体积为×3＝2π. 答案　B 5．(2022·全国甲卷·理)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙，若＝2，则＝(　　) A． B．2 C． D． 解析　如图，甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆， 设圆的半径(即圆锥母线)为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则2πr1＝4π，2πr2＝2π，则r1＝2，r2＝1，由勾股定理，得h1＝，h2＝2，所以＝＝＝＝. 答案　C 6．(2022·淮北模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(　　) A．8＋2 B．11＋2 C．14＋2 D．15 解析　由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为2的直四棱柱，所以S表面积＝S侧面积＋2S下底面积＝(1＋1＋2＋)×2＋2××(1＋2)×1＝11＋2，故选B. 答案　B 7．(2022·新高考全国卷Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　) A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3 C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3 解析　由题意S1＝140 km2，S2＝180 km2，h＝(157.5－148.5)m＝9 m，代入棱台体积公式V＝(S1＋S2＋)h，可得V≈1.4×109 m3.故选C. 答案　C 8．一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周).则该几何体的表面积为(　　) A.72＋6π B．72＋4π C．48＋6π D．48＋4π 解析　由三视图知，该几何体由一个正方体的部分与一个圆柱的部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π. 答案　A 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　) A．12 B．18 C．24 D．36 解析　本题考查由三视图还原直观图，并求体积． 由三视图可知，该几何体为如图所示的多面体ABC­DEF，它是由直三棱柱ABC­DGF截去三棱锥E­DGF后所剩的几何体，所以其体积V＝×3×4×5－××3×4×(5－2)＝24.故选C. 答案　C 10．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O­ABC的体积为(　　) A． B． C． D． 解析　由题可得△ABC为等腰直角三角形，得出△ABC外接圆的半径，则可求得O到平面ABC的距离，进而求得体积． ∵AC⊥BC，AC＝BC＝1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝， 则△ABC外接圆的半径为，又球的半径为1， 设O到平面ABC的距离为d， 则d＝＝， 所以VO­ABC＝S△ABC·d＝××1×1×＝. 故选A. 答案　A 11．正四棱锥V­ABCD的五个顶点在同一个球面上．若其底面边长为4