第五章 第三节　平面向量的数量积与平面向量应用举例-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P334] [保分练] 1．设a，b是非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由数量积定义得 a·b＝|a|·|b|·cos θ＝|a|·|b|，(θ为a，b夹角)， ∴cos θ＝1，θ∈[0，π]，∴θ＝0，∴a∥b； 反之，当a∥b时，a，b的夹角θ＝0或π， a·b＝±|a|·|b|. 答案　A 2．在等腰三角形ABC中，点D是底边AB的中点，若＝(1,2)，＝(2，t)，则||等于(　　) A. B．5 C．2 D．20 解析　由题意知⊥，∴1×2＋2t＝0， ∴t＝－1，∴||＝＝. 答案　A 3．设向量a＝(1,1)，b＝(－1,3)，c＝(2,1)，且(a－λb)⊥c，则λ等于(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 解析　由题意得a－λb＝(1＋λ，1－3λ)， 又∵(a－λb)⊥c，c＝(2,1)， ∴(a－λb)·c＝0，即2(1＋λ)＋1－3λ＝0， ∴λ＝3. 答案　A 4．a，b为平面向量，已知a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，则a，b夹角的余弦值等于(　　) A．－ B．－ C. D． 解析　设b＝(x，y)， 则有a－2b＝(2,4)－(2x,2y)＝(2－2x,4－2y)＝(0,8)， 所以解得 故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2， cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B. 答案　B 5．已知在正方形ABCD中，＝，＝，则在方向上的投影为(　　) A．4 B． C．2 D． 解析　设正方形ABCD的边长为4，建立如图所示的平面直角坐标系， 则由已知可得C(4,4)，E(2,0)，F(0,1)，所以＝(－2，－4)，＝(－4，－3)，则在方向上的投影为＝＝4. 答案　A 6．(2022·全国甲卷·理)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________. 解析　设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为，即cos θ＝， 又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cos θ＝1×3×＝1， 所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11. 答案　11 7．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________. 解析　由题意，设向量a，b的夹角为θ， 因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a， 所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝. 又因为0≤θ≤π，所以θ＝， 则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6. 答案　　6 8．已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________. 解析　由(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，得2(a·b＋b·c＋c·a)＋9＝0，故a·b＋b·c＋c·a＝－. 答案　－ 9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|； (3)若＝a，＝b，求△ABC的面积． 解析　(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61， 所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61， 所以a·b＝－6，所以cos θ＝＝＝－. 又0≤θ≤π，所以θ＝. (2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， 所以|a＋b|＝. (3)因为与的夹角θ＝， 所以∠ABC＝π－＝. 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3， 所以S△ABC＝||||·sin∠ABC ＝×4×3×＝3. 10．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]． (1)若a∥b，求x的值； (2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值． 解析　(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b， 所以－cos x＝3sin x. 若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾， 故cos x≠0，于是tan x＝－. 又x∈[0，π]，所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－) ＝3cos x－sin x＝2cos. 因为x∈[0，π]，所以x＋∈， 从而－1≤cos≤. 于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3； 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取