第四章 第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P315] [保分练] 1．下列各选项中正确的是(　　) A．sin 300°>0 B．cos(－305°)<0 C．tan>0 D．sin 10<0 解析　300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；而－π＝－8π＋，所以－π是第二象限角，故tan(－)<0；因为3π<10<，所以10是第三象限角，故sin 10<0. 答案　D 2．已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为(　　) A. B． C. D．2 解析　设圆的半径为r，则该圆内接正方形的边长为r，即这段圆弧长为r.则该圆弧所对的圆心角的弧度数为＝.故选C. 答案　C 3．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m≠0)，则下列各式的值一定为负的是(　　) A．sin α＋cos α B．sin α－cos α C．sin αcos α D． 解析　由已知得r＝|OP|＝，则sin α＝，cos α＝－<0，tan α＝－m，∴＝cos α<0.故选D. 答案　D 4．若角α与β的终边关于x轴对称，则有(　　) A．α＋β＝90° B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z C．α＋β＝2k·180°，k∈Z D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z 解析　因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z，所以α＋β＝2k·180°，k∈Z. 答案　C 5．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是(　　) A. B. C. D. 解析　当α的终边在射线y＝－x(x≤0)上时，对应的角为＋2kπ，k∈Z，当α的终边在射线y＝－x(x≥0)上时，对应的角为－＋2kπ，k∈Z，所以角α的取值集合是. 答案　D 6．若α＝1560°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________. 解析　因为α＝1560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z， 令k＝－1或k＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案　120°或－240° 7．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________． 解析　设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r<R)，则＝， 所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2. 答案　1∶2 8．在直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为________． 解析　依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，设点B坐标为(x，y)， 则x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝， 即B(－1，)． 答案　(－1，) 9．已知＝－，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边上一点M，且OM＝1(O为坐标原点)，求m及sin α的值． 解析　(1)由＝－，得sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角． (2)因为OM＝1，所以2＋m2＝1，解得m＝±. 又α为第四象限角，故m<0， 从而m＝－，sin α＝＝＝－. 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． (1)若点B的横坐标为－，求tan α的值； (2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合． 解析　(1)设点B的纵标为m，则由题意m2＋2＝1， 且m>0，所以m＝，故B， 根据三角函数的定义得tan α＝＝－. (2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，故与角α终边相同的角β的集合为. [提升练] 11．如图所示的是古希腊著名的天才几何学家希波克拉底用于求月牙形的面积所构造的几何图形，先以AB为直径构造半圆O，C为弧AB的中点，D为线段AC的中点，再以AC为直径构造半圆D，则由曲线AEC和曲线AFC所围成的图形为月牙形．若AB＝4，则该月牙形的面积为(　　) A．4 B．2 C.π D．2 解析　记月牙形的面积为S1，曲线AFC与弦AC围成的弓形面积为S2，易知AD＝，则S1＝π×()2－S2＝π×2－＝S△AOC＝2. 答案　D 12．若α是第三象限角，则y＝＋的值为(　　) A．0 B．2 C．－2 D．2或－2 解析　因为α是第三象限角，所以2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)， 所以kπ＋<<kπ＋(k∈Z)， 所以是第二象限