第四章 第五节 第2课时　简单的三角恒等变换-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P325] [保分练] 1.＝(　　) A．2 B． C. D．1 解析　原式＝＝＝1.故选D. 答案　D 2．(2022·晋中二模)已知＝2，则tan 2α＝(　　) A．－ B．－ C. D． 解析　因为＝＝＝＝tan α＋＝2，所以tan α＝3，从而可得tan 2α＝＝＝－，故选A. 答案　A 3．已知α为锐角，cos α＝，则tan＝(　　) A. B． C．2 D．3 解析　因为α为锐角，且cos α＝，所以sin α＝，tan α＝，所以tan＝＝＝＝＝3， 故选D. 答案　D 4．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于(　　) A. B．或 C. D．2kπ＋(k∈Z) 解析　由sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，又0<α＋β<π，故α＋β＝. 答案　C 5．已知sin(α＋2β)＝，cos β＝，α，β为锐角，则sin(α＋β)的值为(　　) A. B． C. D． 解析　因为cos β＝，0<β<，所以sin β＝， cos 2β＝2cos2β－1＝2×2－1＝－<0， 所以<2β<π. 因为sin(α＋2β)＝，α为锐角，所以<α＋2β<π， 所以cos(α＋2β)＝－， 所以sin(α＋β)＝sin[(α＋2β)－β] ＝sin(α＋2β)cos β－cos(α＋2β)sin β ＝×－×＝.故选D. 答案　D 6．已知2tan αsin α＝3，α∈，则cos＝________. 解析　由2tan αsin α＝3，得＝3， 即2cos2α＋3cos α－2＝0， ∴cos α＝或cos α＝－2(舍去)． ∵－<α<0，∴α＝－， ∴cos＝cos＝0. 答案　0 7．已知α，β均为锐角，且cos(α－β)＝，cos(α＋β)＝，则tan α·tan β＝________. 解析　由题意，知cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，① cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，② 由①②，得cos αcos β＝，sin αsin β＝， 则tan αtan β＝＝. 答案　 8．已知α∈，且2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，则＝________. 解析　∵2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0， ∴(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0， 又α∈，sin α＋cos α>0， ∴2sin α＝3cos α， 又sin2α＋cos2α＝1， ∴cos α＝，sin α＝，∴ ＝ ＝＝. 答案　 9．已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R. (1)求f的值； (2)若sin α＝，且α∈，求f. 解析　(1)f＝cos2＋sin cos ＝2＋×＝. (2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin， 所以f＝＋sin ＝＋sin＝＋. 又因为sin α＝，且α∈， 所以cos α＝－， 所以f＝＋ ＝. 10．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)． (1)求sin 2α－tan α的值； (2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域． 解析　(1)∵角α的终边经过点P(－3，)， ∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－. ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－. (2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x， ∴g(x)＝cos－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1. ∵0≤x≤， ∴－≤2x－≤. ∴－≤sin≤1， ∴－2≤2sin－1≤1， 故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]． [提升练] 11．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝(　　) A. B． C. D． 解析　因为0<α<，0<β<，所以－<α－β<，又sin α＝，sin(α－β)＝－，所以cos α＝＝，cos(α－β)＝＝，则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝，则β＝，故选C. 答案　C 12．设α是第四象限角，若＝，则cos α＝________，tan 2α＝________. 解析　＝＝＝ cos 2α＋2cos2α＝4cos2α