第四章 第六节 第1课时　正弦定理和余弦定理-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P327] [保分练] 1．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的值是(　　) A. B． C. D． 解析　设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.将已知条件利用正弦定理化简，得a2＝b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc.∴结合余弦定理，得cos A＝＝.∵A为三角形的内角，∴A＝，故选B. 答案　B 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝，C＝，sin B＝2sin A，则△ABC的周长是(　　) A．3 B．2＋ C．3＋ D．4＋ 解析　已知sin B＝2sin A， 由正弦定理，得b＝2a. 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋4a2－2a2＝3a2. 又由c＝，解得a＝1，b＝2. 则△ABC的周长是3＋，故选C. 答案　C 3．下列命题中，错误的是(　　) A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B B．在锐角三角形ABC中，不等式sin A>cos B恒成立 C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形 D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形 解析　对于A，在△ABC中，由正弦定理，可得＝，所以sin A＞sin B⇔a>b⇔A>B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈，且A＋B>，则>A>－B>0，所以sin A>sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理，可得b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确． 答案　C 4．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝(　　) A. B． C. D．2 解析　因为A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°，所以由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，得c＝2，所以由正弦定理，得S△ABC＝acsin B，故选C. 答案　C 5．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析　由已知＝＝＝， 所以＝或＝0， 即C＝90°或＝. 当C＝90°时，△ABC为直角三角形， 当＝时， 由正弦定理，得＝，所以＝， 即sin Ccos C ＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B. 因为B，C均为△ABC的内角， 所以2C＝2B或2C＋2B＝180°， 所以B＝C或B＋C＝90°， 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D. 答案　D 6．(2022·浙江卷)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，c＝2，则该三角形的面积S＝________. 解析　法一　三角形的三边a＝，b＝，c＝2代入公式得S＝＝. 法二　三角形的三边a＝，b＝，c＝2代入余弦定理得cos A＝，则sin A＝，则面积S＝bcsin A＝. 答案　 7．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________. 解析　S△ABC＝acsin B＝ac＝，所以ac＝4. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac＝3ac－ac＝2ac＝8.所以b＝2. 答案　2 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b>c，则＝________. 解析　由acos B－c－＝0及正弦定理，可得sin Acos B－sin C－＝0.因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以－－cos Asin B＝0，因为sin B≠0，所以cos A＝－，即A＝.由余弦定理，得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b>c，所以＝2. 答案　2 9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos. (1)求角B的大小； (2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值． 解析　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bs