第四章 第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P317] [保分练] 1．已知tan α＝，且α∈，则cos＝(　　) A．－ B． C. D．－ 解析　由α∈，知α为第三象限角， 联立得sin α＝－， 故cos＝sin α＝－，故选A. 答案　A 2．已知sin 2α＝，<α<，则sin α－cos α的值是(　　) A. B．－ C. D．－ 解析　∵<α<，∴sin α>cos α>0，∴sin α－cos α>0. 又sin 2α＝，∴(sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－sin 2α＝，则sin α－cos α＝. 答案　A 3．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　　) A. B．－ C. D．－ 解析　sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－，故选D. 答案　D 4．(2022·长沙模拟)已知θ∈，则2cos θ＋＝(　　) A．sin θ＋cos θ B．sin θ－cos θ C．cos θ－sin θ D．3cos θ－sin θ 解析　因为θ∈，所以sin θ>cos θ， 则2cos θ＋＝2cos θ＋ ＝2cos θ＋sin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ，故选A. 答案　A 5．若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－ B．－ C. D． 解析　通解　(求值代入法)因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限(提示：根据正切值的正、负，确定角θ可能所在的象限)， 所以或所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ＝－＝.故选C. 优解一　(弦化切法)因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C. 优解二　(正弦化余弦法)因为tan θ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ.则＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C. 答案　C 6．若＝，则tan θ＝________. 解析　因为＝＝， 所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ， 所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3. 答案　－3 7．已知＝，则＝________. 解析　∵＝，∴sin α≠0，∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝1－cos2α， ∴＝1，∴＝＝. 从而可知＝－. 答案　－ 8．若|sin θ|＋|cos θ|＝，则sin4 θ＋cos4θ＝________. 解析　将|sin θ|＋|cos θ|＝两边平方，得1＋|sin 2θ|＝，∴|sin 2θ|＝，∴sin4 θ＋cos4 θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin2 2θ＝1－×2＝. 答案　 9．已知α为第三象限角， f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若cos＝，求f(α)的值． 解析　(1)f(α)＝ ＝＝－cos α. (2)∵cos ＝， ∴－sin α＝，从而sin α＝－. 又α为第三象限角， ∴cos α＝－＝－， ∴f(α)＝－cos α＝. 10．已知sin α＝，求tan(α＋π)＋的值． 解析　因为sin α＝>0， 所以α为第一或第二象限角． tan(α＋π)＋ ＝tan α＋＝＋＝. ①当α为第一象限角时，cos α＝＝， 原式＝＝. ②当α为第二象限角时，cos α＝－＝－， 原式＝＝－. 综合①②知，原式＝或－. [提升练] 11．若θ是△ABC的一个内角，且sin θcos θ＝－，则sin θ－cos θ的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　∵θ是△ABC的一个内角，且sin θcos θ＝－，∴sin θ>0，cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝＝＝＝，故选D. 答案　D 12．已知α∈，β∈，且sin＝cos，sin(π＋α)＝sin，则β－α＝(　　) A. B． C. D． 解析　由题意得由①2＋3×②2得，cos2 α＋9sin2 α＝3，又cos2 α＋sin2 α＝1，所以sin2 α＝，又α∈，所以sin α＝，则α＝.将α＝代入①得，sin β＝，因为β∈，所以β＝π，则β－α＝π，故选A. 答案　A 13．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝________. 解析　由已知，可得－2tan α＋3sin β＋5＝0， tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3， 又α为