第十章 第八节　离散型随机变量的均值与方差、正态分布-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P400] [保分练] 1．经统计，某市高三学生期末数学成绩X～N(85，σ2)，且P(80<X<90)＝0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是(　　) A．0.35 B．0.65 C．0.7 D．0.85 解析　∵数学成绩X～N(85，σ2)，且P(80<X<90)＝0.3，∴P(X≥90)＝＝0.35，故选A. 答案　A 2．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝(　　) X 0 2 a P p A．2 B．3 C．4 D．5 解析　因为p＝1－－＝， 所以E(X)＝0×＋2×＋a×＝2， 解得a＝3， 所以D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1，所以D(2X－3)＝22D(X)＝4，故选C. 答案　C 3．口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以X表示取出球的最小号码，则E(X)＝(　　) A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 解析　易知随机变量X的取值为0,1,2，由古典概型的概率计算公式得P(X＝0)＝＝＝0.6， P(X＝1)＝＝＝0.3，P(X＝2)＝＝0.1， 所以E(X)＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.1＝0.5，故选B. 答案　B 4．设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对独立，则方差D(X)＝(　　) A．2 B．1 C. D． 解析　每次取球时，取到红球的概率为，黑球的概率为，所以取出红球的概率服从二项分布， 即X～B， 所以D(X)＝3××＝，故选C. 答案　C 5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则此赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为(　　) A. B． C. D． 解析　由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为2＋2＝，若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响．所以P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝， P(ξ＝6)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝4)＝， 所以E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.故选B. 答案　B 6．设随机变量X～B，则P(2<X≤4)＝________. 解析　由题意，得n＝6，p＝，所以P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝C33＋C42＝. 答案　 7．某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是________． 解析　在一轮投篮中，甲通过的概率为P＝2××＋×＝，未通过的概率为.X服从二项分布X～B，由二项分布的期望公式，得E(X)＝3×＝. 答案　 8．一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为________． 解析　将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0,1,2,4.其中，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝4)＝＝， 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1. 答案　1 9．(2022·甘肃第一次诊断考试)某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了150个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如下： 增长率 [－0.4，－0.2) [－0.2，0) [0,0.2) [0.2，0．4) [0.4，0．6] 企业数 15 30 50 38 17 (1)根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例(用百分数表示)；估计这150个企业同期产值增长率的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)． (2)某调研部门要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业进行调查研究，若被调查的企业同期增长率y∈[－0.4，－0.2)，则调研价值为1；若被调查的企业同期增长率y∈[－0.2,0)，则调研价值为2；若被调查的企业同期增长率y∈[0,0.6]，则调研价值为3.以表中对应各组的频率为概率，设选取的两个企业的调研价值之和为X，求X的分布列及数学期