第十一章 第六节　概率与统计的综合问题-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P415] [保分练] 1．(2022·广州综合测试)人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策．某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如表. 月份x 1 2 3 4 5 销售量y/万件 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：＝x2＋. (1)根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程(的值精确到0.1)； (2)已知该公司的月利润z(单位：万元)与x，y的关系为z＝24－，根据(1)的结果，该公司哪一个月的月利润预报值最大？ 参考公式：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 解析　(1)设X＝x2， 则＝＝11， ＝＝7.2. (Xi－)(yi－)＝81.1，(Xi－)2＝374， 所以＝≈0.2， 所以＝－≈5， 所以y关于x的回归方程为＝0.2x2＋5. (2)由(1)得z＝24－＝， 设f(x)＝(x>0)， 则f′(x)＝ ＝ ＝. 当0<x<9时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,9)上单调递增； 当x>9时，f′(x)<0，函数f(x)在(9，＋∞)上单调递减． 所以当x＝9时，函数f(x)取得最大值． 所以该公司9月的月利润预报值最大． 2．在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度．为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备)．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．设三台设备的可靠度均为r(0<r<1)，它们之间相互不影响． (1)要使系统的可靠度不低于0.992，求r的最小值． (2)当r＝0.9时，求能正常工作的设备数X的分布列． (3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案： 方案1，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更换设备硬件的总费用为8万元； 方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护的总费用为5万元． 请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策． 解析　(1)计算机网络系统无法正常工作的概率P＝(1－r)3， 要使系统的可靠度不低于0.992， 则1－(1－r)3≥0.992， 解得r≥0.8， 故要使系统的可靠度不低于0.992，则r的最小值为0.8. (2)依题意，X的所有可能取值为0,1,2,3，且X～B(3，0.9)， 则P(X＝0)＝C×0.90×(1－0.9)3＝0.001， P(X＝1)＝C×0.91×(1－0.9)2＝0.027， P(X＝2)＝C×0.92×(1－0.9)1＝0.243， P(X＝3)＝C×0.93×(1－0.9)0＝0.729， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 (3)设方案1、方案2的总损失分别为X1，X2. 采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度维持在0.9，由(2)可知计算机网络断掉的概率为0.001， 所以E(X1)＝80 000＋0.001×500 000＝80 500. 采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，由(1)可知计算机网络断掉的概率为0.008， 所以E(X2)＝50 000＋0.008×500 000＝54 000. E(X1)>E(X2)， 因此，从期望损失最小的角度，决策部门应选择方案2. 3．随着食品安全问题逐渐引起人们的重视，有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎，同时生产—运输—销售一体化的直销供应模式，不仅减少了成本，而且减去了蔬菜的二次污染等问题． (1)在有机蔬菜的种植过程中，有机肥料使用是必不可少的，根据统计，某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用量有关系，每个有机蔬菜大棚产量的增加量y(百千克)与使用堆沤肥料x(千克)之间对应数据如表： 使用堆沤肥料x(千克) 2 4 5 6 8 产量增加量y(百千克) 3 4 4 4 5 依据表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并根据所求线性回归方程估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克，则每个有机蔬菜大棚产量增加量y是多少百千克； (2)某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三千克