第三章 第一节　导数的概念及运算-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P306] [保分练] 1．(2022·开封一模)函数f(x)＝ln x＋x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A．4x－y－3＝0 B．4x＋y－3＝0 C．x－4y－3＝0 D．x＋4y－3＝0 解析　由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋3x2，所以f(1)＝1，f′(1)＝4，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0，故选A. 答案　A 2．一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数为y＝h(t)＝，当t＝3时，水面下降的速度为(　　) A．－ cm/s B． cm/s C．－ cm/s D． cm/s 解析　由题意得，h′(t)＝＝，所以h′(3)＝＝－，故当t＝3时，水面下降的速度为 cm/s，故选B. 答案　B 3．设函数f(x)＝x＋g(x)在R上可导，且在f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋2，则g(1)＋g′(1)＝(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析　∵点(1，f(1))在切线y＝－x＋2上，∴f(1)＝－1＋2＝1.又f′(1)＝－1，∴f(1)＋f′(1)＝0.∵f(x)＝x＋g(x)，∴f′(x)＝1＋g′(x)，∴f(1)＋f′(1)＝1＋g(1)＋1＋g′(1)＝0，故g(1)＋g′(1)＝－2.故选A. 答案　A 4．已知直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝ln x相切，则k等于(　　) A． B． C．e D．e2 解析　由f(x)＝ln x，得f′(x)＝，设切点为(x0，ln x0)，则解得x0＝e2，则k＝＝. 答案　A 5．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2021)＝(　　) A．1 B．2 C． D． 解析　令ex＝t，则x＝ln t，所以f(t)＝ln t＋t，故f(x)＝ln x＋x. 求导得f′(x)＝＋1，故f′(2021)＝＋1＝.故选D. 答案　D 6．设f(x)＝则f(x)dx＝________． 答案　＋ 7．已知函数f(x)＝＋ex cos x，若f′(0)＝－1，则a＝________． 解析　f′(x)＝＋ex cos x－ex sin x ＝＋ex cos x－ex sin x， ∴f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2. 答案　2 8．(2022·南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________． 解析　因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，所以f′(x)＝1＋ex， 所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e. 答案　1＋e 9．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R). (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 解析　f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2). (1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0， 即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－. 所以a的取值范围为∪. 10．已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 解析　(1)根据题意，得f′(x)＝3x2＋1. 所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13， 所以要求的切线方程为y＝13x－32. (2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为 f′(x0)＝3x＋1， 所以直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16. 又直线l过点(0，0)，则(3x＋1)(0－x0)＋x＋x0－16＝0， 整理得x＝－8，解得x0＝－2， 所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k′＝13， 所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26). [提升练] 11．(2022·宝鸡模拟)已知直线y＝kx(k>0)和曲线f(x)＝x－a ln x(a≠0)相切，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0)∪(0，e) B．(0，e) C．(0，1)∪(1，e) D．(－∞，0)∪(1，e) 解析　设直线y＝kx与曲线f(x)