第七章 第二节　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P348] [保分练] 1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为(　　) A．(－24,7) B．(－7,24) C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 解析　根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0， 即(a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24. 答案　B 2．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析　不等式组表示的平面区域是以点(0,0)，(0,2)和(1,1)为顶点的三角形区域(含边界)，则面积为×2×1＝1. 答案　A 3．若实数x，y满足约束条件则z＝x＋2y的取值范围是(　　) A．(－∞，4] B．[4，＋∞) C．[5，＋∞) D．(－∞，＋∞) 解析　画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线x＋2y＝0，平移该直线，易知当直线z＝x＋2y经过点A(2,1)时，z取得最小值，zmin＝2＋2×1＝4，再数形结合可得z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)． 答案　B 4．设x，y满足约束条件若z＝x＋3y的最大值与最小值的差为7，则实数m＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析　作出不等式组表示的平面区域(图略)，由图易得目标函数z＝x＋3y在点(1,2)处取得最大值且zmax＝1＋3×2＝7，在点(m－1，m)处取得最小值且zmin＝m－1＋3m＝4m－1.又由题知7－(4m－1)＝7，解得m＝.故选C. 答案　C 5．已知变量x，y满足则k＝的取值范围是(　　) A．k>或k≤－5 B．－5≤k< C．k≥或k<－5 D．－5<k≤ 解析　由题意作出可行域如图阴影部分所示， 目标函数k＝＝， 即可行域内的点与点B(3，－1)连线的斜率， 直线x－2y＋4＝0的斜率为， 由可得点A(2,4)，则kAB＝＝－5，数形结合可得，k>或k≤－5. 答案　A 6．不等式组表示的平面区域的面积为________． 解析　依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示． 平面区域为△ABC及其内部，其中A(2,0)，B(0,2)，C(2，3)，所以所求面积为 ×2×|AC|＝3. 答案　3 7．若x，y满足约束条件则z＝log2(x＋y－1)的最大值为________． 解析　作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示， 设t＝x＋y，由图可知，t在点A处取到最大值，联立 解得A(1,2)，所以t＝x＋y的最大值为3， 由于y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数， 故z＝log2(x＋y－1)的最大值为1. 答案　1 8．因疫情防控工作需要，某高中学校需要安排男教师x名，女教师y名做义工，x和y需满足条件则该校安排教师最多为______人． 解析　由于x和y需满足约束条件 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示． 由于要求该校安排的教师人数最多，设目标函数为z＝x＋y，得y＝－x＋z， 则题意可转化为在可行域内任意取x，y且为整数，使得目标函数的斜率为定值－1，截距最大时的直线为过的交点A(6,7)，此时z取最大值，即zmax＝6＋7＝13. 答案　13 9．变量x，y满足 (1)设z＝，求z的最小值； (2)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的最大值． 解析　由约束条件作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)． 由解得A. 由解得C(1,1)． 由解得B(5,2)． (1)因为z＝＝， 所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观察图形可知zmin＝kOB＝. (2)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点B到(－3,2)的距离最大，dmax＝＝8，故z的最大值为64. 10．若x，y满足约束条件 (1)求目标函数z＝x－y＋的最值； (2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围． 解析　(1)作出可行域如图阴影部分所示(含边界)， 可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)． 平移初始直线x－y＋＝0，当直线过A(3,4)时，z取最小值－2，过C(1,0)时，z取最大值1. 所以z的最大值为1，最小值为－2. (2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2， 解得－4<a<2. 故a的取值范围是(－4,2)． [提升练] 11．若实数x，y满足且z＝2x＋y的最小值为3，则实数b的值为(　　) A．1 B． C. D． 解析　画出可行域如图阴影部分所示， 当目标函数z＝2x＋y过点B时取得最小值， 由得B， 则2×＋＝3，解得b＝. 答案　C 12．已