第六章 第四节　数列求和-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P342] [保分练] 1．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为(　　) A．2n－1 B．n·2n－n C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2 解析　记an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1， ∴Sn＝－n＝2n＋1－2－n. 答案　D 2．已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于(　　) A．13 B．10 C．9 D．6 解析　∵an＝＝1－， ∴Sn＝n－＝n－1＋. 而＝5＋，∴n－1＋＝5＋.∴n＝6. 答案　D 3．数列{(－1)n(2n－1)}的前2020项和S2020等于(　　) A．－2020 B．2020 C．－2019 D．2019 解析　S2020＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2019－1)＋(2×2020－1)＝＝2020.故选B. 答案　B 4．在数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于(　　) A．(3n－1)2 B．(9n－1) C．9n－1 D．(3n－1) 解析　因为a1＋a2＋…＋an＝3n－1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1(n≥2).则当n≥2时，an＝2·3n－1. 当n＝1时，a1＝3－1＝2，适合上式，所以an＝2·3n－1(n∈N*). 则数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列，a＋…＋a＝＝(9n－1).故选B. 答案　B 5．若数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项之和为(　　) A． B． C． D． 解析　∵bn＝＝＝－， ∴S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝－＋－＋－＋…＋－＝－＝. 答案　B 6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝________． 解析　由Sn＝n2－6n，得{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2. ∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7. ∴当n≤3时，an<0；当n>3时，an>0. ∴Tn＝ 答案　 7．已知数列{an}满足an＋1＝2an＋4.若首项a1＝－2，则数列{an}的前9项和S9＝________． 解析　因为an＋1＝2an＋4，所以an＋1＋4＝2(an＋4)，故{an＋4}是以a1＋4＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋4＝2n，即an＝2n－4. Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(21－4)＋(22－4)＋…＋(2n－4)＝(21＋22＋…＋2n)－4n＝－4n＝2n＋1－2－4n，所以S9＝210－2－4×9＝986. 答案　986 8．已知公比为整数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝4，S3＝14.若bn＝log2an，则数列的前100项的和为________． 解析　设数列{an}的公比为q，且q为整数．由已知，a2＝a1q＝4，S3＝a1＋a1q＋a1q2＝14，解得q＝2或q＝(舍去)，所以a1＝2，an＝2n，bn＝log2an＝log22n＝n，所以＝＝－，故数列的前100项的和为1－＝. 答案　 9．(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 解析　(1)证明　由已知得2Sn＋n2＝2nan＋n.当n＝1时，原式恒成立； 当n≥2时，2Sn－1＋(n－1)2＝2(n－1)an－1＋(n－1)； 两式相减得：2an＋2n－1＝2nan－2(n－1)an－1＋1， 整理得：(2n－2)an＝(2n－2)an－1＋(2n－2)， 因为n≥2，故2n－2>0，所以an－an－1＝1(n≥2)， 所以数列{an}是公差为1的等差数列． (2)由(1)d＝1；由题意a＝a4a9，即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，化简得a1＝－12.故Sn＝na1＋d＝－12n＋＝n2－n＝－.因为n∈N*，所以n＝12或n＝13时，(Sn)min＝－78. 10．(2022·北京模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝20，a3是a2，a5的等比中项，数列{bn}满足对任意的n∈N*，Sn＋bn＝2n2. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝求数列{cn}的前2n项的和T2n. 解析　(1)设数列{an}的公差为d，由题意得， 化简得 因为d≠0，所以a1＝0，d＝2，所以an＝2n－2(n∈N*)，Sn＝n2－n，n∈N*， 因为Sn＋bn＝2n2，所以bn＝n2＋n(n∈N*). (2)由(1)知，cn＝ ＝ 所以T2n＝c