第九章 第七节　抛物线-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P382] [保分练] 1．抛物线y＝ax2(a≠0)的准线方程是y＝1，则a的值为(　　) A. B．－ C．4 D．－4 解析　由y＝ax2，变形得x2＝y＝2×y，∴p＝.又抛物线的准线方程是y＝1， ∴－＝1，解得a＝－. 答案　B 2．已知点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，则点P到抛物线焦点F的距离为(　　) A．2 B．3 C. D． 解析　因为抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，准线为x＝－1，结合定义点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，为3. 答案　B 3．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．又焦点F，所以x1＋x2＋x3＝3×＝，则||＋||＋||＝＋＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3. 答案　C 4．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线(　　) A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP 解析　如图所示，P为抛物线上异于O的一点， 则|PF|＝|PQ|，∴QF的垂直平分线经过点P. 答案　B 5．抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是(　　) A．4 B．3 C．4 D．8 解析　由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|， ∵AF的斜率为， ∴AF的倾斜角为30°， ∵AH垂直于准线，∴∠FAH＝60°， 故△AHF为等边三角形．设A，m>0， 过F作FM⊥AH于M，则在Rt△FAM中， |AM|＝|AF|，∴－1＝， 解得m＝2，故等边三角形AHF的边长|AH|＝4， ∴△AHF的面积是×4×4sin 60°＝4. 答案　C 6．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________． 解析　先用坐标表示P，Q，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p，即得结果． 不妨设P，∴Q，＝(6，－p)． ∵PQ⊥OP，∴×6－p2＝0.∵p>0，∴p＝3，C的准线方程为x＝－. 故答案为x＝－. 答案　x＝－ 7．已知直线l是抛物线y2＝2px(p>0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与l相切，则抛物线的方程为________． 解析　∵半径为3的圆与抛物线的准线l相切， ∴圆心到准线的距离等于3， 又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝， ∴＋＝3，∴p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x. 答案　y2＝8x 8．设抛物线y2＝16x的焦点为F，经过点P(1,0)的直线l与抛物线交于A，B两点，且2＝，则|AF|＋2|BF|＝________. 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵P(1,0)， ∴＝(1－x2，－y2)，＝(x1－1，y1)． ∵2＝，∴2(1－x2，－y2)＝(x1－1，y1)， ∴x1＋2x2＝3. ∴|AF|＋2|BF|＝x1＋4＋2(x2＋4)＝x1＋2x2＋12＝15. 答案　15 9．定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标． 解析　如图所示，F是抛物线y2＝x的焦点， 过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D， 过AB的中点M作准线的垂线MN，垂足为N， 则|MN|＝(|AC|＋|BD|)． 连接AF，BF，由抛物线的定义知 |AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|， 所以|MN|＝(|AF|＋|BF|)≥|AB|＝. 设点M的横坐标为x，则|MN|＝x＋， 所以x≥－＝. 当弦AB过点F时等号成立， 此时，点M到y轴的距离最短，最短距离为. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2x. 当x＝时，易知y1y2＝－p2＝－， 所以(y1＋y2)2＝y＋y＋2y1y2＝2x－＝2. 所以y1＋y2＝±，得y＝±， 即M. 10．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，且l1与l2交于点M. (1)求p的值； (2)若l1⊥l2，求△MAB面积的最小值． 解析　(1)由题意知，抛物线焦点为，准线方程为y＝－， 焦点到准线的距离为2，即p＝2. (2)由(1)知抛物线的方程为x2＝4y， 即y＝x2，所以y′＝x， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， l1：y－＝(