第九章 第六节　双曲线-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P380] [保分练] 1．双曲线－＝1(0＜m＜3)的焦距为(　　) A．6 B．12 C．36 D．2 解析　∵c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6.双曲线的焦距为12 答案　B 2．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点是(0,3)，则k的值是(　　) A．1 B．－1 C. D．－ 解析　根据题意可知，双曲线8kx2－ky2＝8的焦点在y轴上，则把双曲线8kx2－ky2＝8的方程化为标准方程为－＝1，∴9＝＋，∴k＝－1.故选B. 答案　B 3．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　) A．2 B． C. D．1 解析　因为双曲线的方程为－＝1所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，所以a＝1.选D. 答案　D 4．已知双曲线x2－＝1(b>0)，其虚轴长为2，则双曲线的离心率是(　　) A. B． C．3 D． 解析　由题可知，a＝1，因为虚轴长为2，所以b＝1，所以c2＝a2＋b2＝1＋1＝2，得c＝，所以离心率e＝＝.故选A. 答案　A 5．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5 m，水面宽AB＝30 m．若水面下降5 m，则水面宽度是(结果精确到0.1 m)(参考数值：≈1.41，≈2.24，≈2.65)(　　) A．43.8 m B．44.8 m C．52.3 m D．53.0 m 解析　如图建系．∵拱桥为等轴双曲线形，∴设其方程为y2－x2＝a2，∴C(0，－a)． ∵|AB|＝30，|CD|＝5， ∴B(15，－a－5)．将B(15，－a－5) 代入方程y2－x2＝a2得(－a－5)2－152＝a2，解得a＝20. ∴曲线方程为y2－x2＝400.当水面下降5 m时， yN＝－a－5－5＝－30，代入方程y2－x2＝400，得xN＝10.∴|MN|＝2xN＝20≈44.8.故水面宽度约为44.8 m．故选B. 答案　B 6．(2022·深圳调研)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，P为C上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，则C的方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C.－＝1 D．－＝1 解析　因为PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝， |F1F2|＝10， 所以可得|PF1|＝8，|PF2|＝6， 根据双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，即a＝1，所以b2＝c2－a2＝25－1＝24， 所以C的方程为x2－＝1.故选A. 答案　A 7．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析　不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|＞|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因为所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝. 由余弦定理，可得＝，化简得c2＝3a2，所以b2＝c2－a2＝2a2，则＝，所以双曲线的渐进线方程为y＝±x. 答案　D 8．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　) A. B．2 C. D．2 解析　法一　由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C的渐进线的距离为＝2.故选D. 法二　离心率为e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D. 答案　D 9．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点O及点A，则双曲线C的方程为(　　) A．x2－＝1 B．－＝1 C.－y2＝1 D．－＝1 解析　由双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，得一条渐近线方程y＝x，代入A点坐标可得b＝a， 连接FA，如图所示，|AO|＝＝，则＝＝＝，解得c＝2. 所以c2＝a2＋b2＝4，解得a2＝3，b2＝1，故双曲线方程为－y2＝1.故选C. 答案　C 10．已知点P为双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有成立，则双曲线的离心率的取值范围是(　　) A．(1，) B．[，＋∞) C．(1，] D．(，＋∞) 解析　设△PF1F2的内切圆半径为r， 所以|PF1|－|PF2|≤|F1F2|， 由双曲线的定义可知|PF1|－