第九章 第九节 第3课时　证明与探索性问题-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P388] [冲刺练] 1．设动点P与定点F(，0)的距离和P到定直线l：x＝的距离的比是. (1)求动点P的轨迹方程； (2)设动点P的轨迹为曲线N，不过原点O且斜率为的直线l与曲线N交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与曲线N交于C，D两点，证明：A，B，C，D四点共圆． 解析　(1)设P(x，y)，因为动点P与定点F(，0)的距离和P到定直线l：x＝的距离的比是， 所以＝，整理化简得＋y2＝1. 所以动点P的轨迹方程为＋y2＝1. (2)证明　设直线l的方程为y＝x＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组得x2＋2mx＋2m2－2＝0，　① 方程①的判别式为Δ＝4(2－m2)， 由Δ>0，即2－m2>0，解得－<m<. 由①得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2. 所以M点坐标为，直线OM方程为y＝－x， 假设点C在第二象限，由方程组解得C，D. 所以|MC|·|MD|＝(－m＋)·(＋m)＝(2－m2)． 又|MA|·|MB|＝|AB|2＝[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝[4m2－4(2m2－2)]＝(2－m2)． 所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|. 所以A，B，C，D四点共圆． 2．抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2,0)，且⊙M与l相切． (1)求C，⊙M的方程； (2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由． 解析　(1)根据已知抛物线与x＝1相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出P，Q坐标，由OP⊥OQ，即可求出p；由圆M与直线x＝1相切，求出半径，即可得出结论； (2)先考虑A1A2斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若A1A2，A1A3，A2A3斜率存在，由A1，A2，A3三点在抛物线上，将直线A1A2，A1A3，A2A3斜率分别用纵坐标表示，再由A1A2，A1A3与圆M相切，得出y2＋y3，y2·y3与y1的关系，最后求出M点到直线A2A3的距离，即可得出结论． (1)依题意设抛物线C：y2＝2px(p>0)，P(1，y0)，Q(1，－y0)， ∵OP⊥OQ，∴·＝1－y＝1－2p＝0， ∴2p＝1， 所以抛物线C的方程为y2＝x， M(0,2)，⊙M与x＝1相切，所以半径为1， 所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1； (2)设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)， 若A1A2斜率不存在，则A1A2方程为x＝1或x＝3， 若A1A2方程为x＝1，根据对称性不妨设A1(1,1)， 则过A1与圆M相切的另一条直线方程为y＝1， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3，不合题意； 若A1A2方程为x＝3，根据对称性不妨设 A1(3，)，A2(3，－)， 则过A1与圆M相切的直线 A1A3为y－＝(x－3)， 又kA1A3＝＝＝＝， ∴y3＝0， x3＝0，A3(0,0)，此时直线A1A3，A2A3关于x轴对称， 所以直线A2A3与圆M相切； 若直线A1A2，A1A3，A2A3斜率均存在， 则kA1A2＝，kA1A3＝，kA2A3＝， 所以直线A1A2方程为y－y1＝(x－x1)， 整理得x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0， 同理直线A1A3的方程为x－(y1＋y3)y＋y1y3＝0， 直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0， ∵A1A2与圆M相切，∴＝1， 整理得(y－1)y＋2y1y2＋3－y＝0， A1A3与圆M相切，同理(y－1)y＋2y1y3＋3－y＝0， 所以y2，y3为方程(y－1)y2＋2y1y＋3－y＝0的两根， y2＋y3＝－，y2·y3＝， M到直线A2A3的距离为 ＝ ＝＝＝1， 所以直线A2A3与圆M相切； 综上，若直线A1A2，A1A3与圆M相切，则直线A2A3与圆M相切． 3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2过F1的动直线与椭圆C交于P，M两点，直线PF2与椭圆C交于P，N两点，且＝λ，＝μ.当△F1PF2的面积最大时，△MPN为等边三角形． (1)求椭圆C的离心率． (2)若b>，直线λx＋μy＝1与椭圆C是否有公共点？ 若有，有多少个公共点？若没有，请说明理由． 解析　(1)由已知，P，M，N是椭圆C上的动点，P，F1，M三点共线，P，F2，N三点共线． ∴当△F1PF2的面积最大时，P是椭圆C在短轴上的顶点． ∵当△F1PF2的面积最大时，△MPN为等边三角形，∴当△F1PF2的面积最大时，∠F1PO＝∠F1PF2＝∠MPN＝30°，其