第九章 第九节 第2课时　定点与定值问题-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P387] [冲刺练] 1．(2022·沈阳质量监测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，点A是椭圆的左顶点，点E的坐标为(1,0)，经过点E的直线l交椭圆于M，N两点，直线l的斜率存在且不为0. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线AM，AN分别交直线x＝4于点P，Q，线段PQ的中点为G，设直线l与直线EG的斜率分别为k，k′，求证：k·k′为定值． 解析　(1)由题意得，b＝1，e＝，得a＝2， c＝， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2)．直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)， 由消去y，整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 又A(－2,0)，所以直线AM的方程为y＝(x＋2)， 其与直线x＝4的交点P，同理Q. 所以PQ的中点G. 因此直线GE的斜率 k′＝＝＋ ＝ ＝ ＝k· ＝k· ＝k· ＝k·＝－， 因此k·k′＝－，即k·k′为定值． 2．(2022佛山质量检测)已知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，且过点P(3，)． (1)求C的方程； (2)设Q(1,0)，直线x＝t(t∈R)不经过点P且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，求证：直线AD过定点． 解析　(1)法一　因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故可设C的方程为－y2＝λ(λ≠0)， 又C过点P(3，)，所以－()2＝λ，解得λ＝1， 所以C的方程为－y2＝1. 法二　若焦点在x轴上，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 则解得 所以C的方程为－y2＝1. 若焦点在y轴上，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 则解得(舍去)． 综上，C的方程为－y2＝1. (2)证明　显然直线BQ的斜率不为0，设直线BQ的方程为x＝my＋1，B(x1，y1)，D(x2，y2)，A(x1，－y1)， 联立得消去x整理得(m2－3)y2＋2my－2＝0， 依题意得m2－3≠0且Δ＝4m2＋8(m2－3)>0，即m2>2且m2≠3， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝－. 直线AD的方程为y＋y1＝(x－x1)， 令y＝0，得 x＝＋x1＝ ＝ ＝＝＝3. 所以直线AD过定点(3,0)． 3．已知P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点，F2(1，0)，线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H(4,0)． 解析　(1)由线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，得|QF1|＋|QF2|＝|QF1|＋|QP|＝|PF1|＝4>|F1F2|＝2. 所以点Q的轨迹为以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆， 故2a＝4，a＝2,2c＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3. 曲线C的方程为＋＝1. (2)证明　由(1)可设A(－2,0)，B(2,0)，点M的坐标为(1，m)，直线MA的方程为y＝(x＋2)， 将y＝(x＋2)与＋＝1联立整理得 (4m2＋27)x2＋16m2x＋16m2－108＝0， 设点D的坐标为(xD，yD)，则－2xD＝， 故xD＝，则yD＝(xD＋2)＝， 直线MB的方程为y＝－m(x－2)， 将y＝－m(x－2)与＋＝1联立整理得， (4m2＋3)x2－16m2x＋16m2－12＝0， 设点E的坐标为(xE，yE)，则2xE＝， 故xE＝，则yE＝－m(xE－2)＝， HD的斜率为k1＝＝＝－， HE的斜率为k2＝＝＝－， 因为k1＝k2，所以直线DE经过定点H(4,0)． 4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)． (1)求C的方程； (2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 解析　(1)由题设得＋＝1，＝， 解得a2＝6，b2＝3. 所以C的方程为＋＝1 (2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 若直线MN与x轴不垂直， 设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1， 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 于是x1＋x2＝－，x1x2＝.　① 由AM⊥AN，得·＝0，故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0， 整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0. 将①代入上式，可得(k2＋1)－(km－k－2)·＋(m－1)2＋4＝0， 整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0. 因为A(2,1)不在直线MN上， 所以2k＋m－1≠0，所以2k＋3m